《子流形幾何中的變分問題》是依託清華大學，由李海中擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：子流形幾何中的變分問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：李海中
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何理論是歐氏空間中曲面論的自然發展和推廣，是整體微分幾何的寒驗蘭捆重要組成部分，在分析、拓撲和方程中都起到了重要的作用，其中子流形的變分問題是它的重要研究課題。自1965年J.T. Willmore提出了著名的Willmore猜想以來，S.T.Yau,R.Bryant,U.Pinkall等幾何學家在Willmore曲面的研究方面得到了一系列重要結果，匪頁重但高維Willmore子流形還未得到充分的研究。近年來，Barbosa,do Carmo等人研究了空間形式中超曲面的保體積變分問題，其高余維的情形對應r-極小子流記灶判籃形的變分問題。Wulff Shape 是Wulff上世紀初研究晶體時發現的數學模型，其幾何變分特徵問題還未得到充分研究。本項目對下面三類變分問題進行研究：1、黎曼流形中Willmore子流形的變分問題；2、黎曼流形中的r-極小子流形的變分問題；3、Wulff Shape的變分特徵問題。
結題摘要
子流形幾何理論是歐式空間中曲面輪的自然發展和推廣,是整體微分幾何的重要組成部分,在分析,拓撲和方程中都起到了重要作用. 子流形的變分問題是子流形幾何的重要研究課題. 本項目在下面五個方面取得一系列重要研究成果： （１）黎曼流形中特殊子流形的分類問題，包括復射影空間中具有平行第二基本形式的Lagrangian子流形的分類；復歐式空間和復雙曲空間中迷向Lagrangian子流形的分類；不定復空間形式中極小迷向Lagrangian子流形的分類; 3維復空間形式中具有迷向3形式的Lagrangian 子流形的分類；歐式空間中具有常Laguerre特徵值和零Laguerre形式的這類超付漏漏曲面的分類． （２）黎曼流形中特殊子流形的構造，包括復二次形中極小Lagrangian 子流形的新例子的構造；球面中具有常數r-次平均曲率嵌入超曲面的例子構造． （３）黎歡您汽曼流形中子流形的剛性和特徵值研究，包括研究球面中常數數量曲率超曲面的弱穩定指標；常數量曲率超曲面對應Jacobi運算元第二特徵值的上界估計；對球面中緊緻具有常熟平均曲率超曲面, 得到第二基本形式長度平方長度的第二Pinching現象；對空間形式中緊緻子流形, 給出其誘導度量的Paneitz運算元第二特徵值的最優上界估計等． （４）具有平行cubic形式仿射超曲面的完全分類，包括給出局部嚴格凸且具有平行cubic形式的仿射超曲面的完全分捉鴉類；給出了具有平行cubic形式的Lorentz仿射超曲面的完全分類等． （５）黎曼流形上泛函的變分問題研究，包括對具有共形Killing向量場的黎曼流形我們建立關於標準化體積係數和Gauss-Bonnet 曲率的兩個Kazdan-Warner型恆等式； 計算對應標準化體積係數泛函的第二變分公式，研究其穩店承蒸定性和幾何套用。
