子流形共形高斯映射的幾何

《子流形共形高斯映射的幾何》是依託北京大學，由馬翔擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：子流形共形高斯映射的幾何
• 依託單位：北京大學
• 項目負責人：馬翔
• 項目類別：面上項目

項目摘要

高斯映射在歐氏空間的子流形幾何中非常重要。它在莫比烏斯幾何中可如下推廣。對球面中的余維p子流形，在任一點取一個圓球與之相切並具有相同中曲率向量，稱為中曲率球，為莫比烏斯不變的幾何對象；它定義了到全體余維p球面構成的模空間的共形高斯映射。這個模空間可以等同於洛倫茲空間中p維類空子空間構成的格拉斯曼流形。 本項目的研究目的是利用共形高斯映射，研究Willmore曲面和Wintgen ideal子流形。它們是球面中共形不變的理想對象，前者是Willmore泛函的臨界曲面，後者逐點取到DDVV不等式中的等號。兩者的共形高斯映射已證明都是從黎曼面出發的共形調和映射。 我們需要研究黎曼面到不定度量Grassmann流形的調和映射，推廣以往到緊對稱空間調和映射的結果。我們期望解決二維Willmore球面的分類問題，證明其Willmore泛函的量子化定理，並對Wintgen ideal子流形獲得一般的構造

結題摘要

高斯映射在歐氏空間的子流形幾何中非常重要。在莫比烏斯幾何中，對球面中的子流形可以在每一點定義一個中曲率球，與其相切並具有相同的平均曲率。它是莫比烏斯不變的幾何對象；它定義了到全體余維p球面構成的模空間的共形高斯映射，而這個模空間可以等同於洛倫茲空間中p維類空子空間構成的格拉斯曼流形。 本項目的研究目的是利用共形高斯映射，研究Willmore曲面和Wintgen ideal子流形。我們成功完成了Willmore二維球面的兩個分類結果的證明，一個是外圍空間為5維球面的情形，另一個是余維任意而加“莫比烏斯齊性”條件的情形。對於 Wintgen ideal 子流形的結構，我們整理髮表了兩篇論文。 此外，王長平和李同柱、慶傑、謝振肖、王孝振、姬秀等還在Moebius等參超曲面、Lorentz共形平坦超曲面、Moebius齊性超曲面等主題上有諸多進展，均得到了本基金的資助，前後發表和接受的論文有18篇（有基金標註）。除此之外，馬翔和指導的博士葉楠、博士後張棟等，還在Lorentz空間的偽凸曲線和偽凸子流形方面做了許多工作，發表兩篇論文並多次報告。可以說，本課題的研究成果相當豐富，比較成功。