《高余維平均曲率流理論及其在辛幾何中的套用》是依託深圳大學，由尹樂擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高余維平均曲率流理論及其在辛幾何中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：尹樂
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們知道，曲率流理論在解決眾所周知的世界數學難題如Poincare猜想與Thurston幾何化猜想等已顯示出其強大的威力，而該理論的威力來自於對曲率流方程本身的理解。平均曲率流作為一種特殊的曲率流，它在辛幾何和復幾何中的套用受到了國際上眾多數學家的關注。如何利用高余維平均曲率流去構造特殊拉格朗日子流形是目前國際幾何分析領域的熱點問題，本項目將嘗試開展這方面的研究。我們將詳細研究卡拉比－丘成桐流形中的子流形的曲率性質在平均曲率流下的演化過程，分析解的長時間性態，其中關鍵的問題是了解子流形的奇點結構。我們通過深入研究平均曲率流解的奇點結構和self－similar解的分類問題，對拉格朗日平均曲率流的解的極限行為做出刻畫，從而根據得到的結果更好地認識高余維平均曲率流與特殊拉格朗日子流形的關係。
結題摘要
平均曲率流方程是子流形幾何中研究子流形拓撲和幾何性質的非常有效的工具，深受數學家的關注。本項目的主要工作是運用現代偏微分方程方法去理解特定幾何空間中子流形的幾何性質，並通過求解幾何偏微分方程，去把具有某類曲率特性的黎曼流形等距嵌入到目標空間中成為其嵌入子流形，得到特定幾何空間中該子流形的具體實現。主要成果包括：（1）解決了一個具強負曲率的完備曲面在三維Lorentz-Minkowski空間中的等距嵌入問題，並且證明了這種等距嵌入的方式在某一意義下是唯一的；（2）分析了具強負曲率的完備曲面通過上述方式等距嵌入到Lorentz-Minkowski空間中作為子流形所具有的子流形幾何性質，對它的第二基本形式進行有界控制；（3）證明任何一個具負曲率的二維緊緻黎曼流形上，存在一個在其等距群作用下不變的正定的對稱（0，2）型張量，且該張量滿足Gauss-Codazzi-Weingarten方程，換句話說，該張量的表現有如“第二基本形式”。
