《旋量場與流形的幾何分析》是依託武漢大學，由陳群擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：旋量場與流形的幾何分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳群
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於Spin流形上非線性狄拉克方程的研究，現有的文獻很少涉及。多數情形下，特別是三維齊性空間中曲面的Spinor表示，方程不具有變分結構， 難以處理。本項目計畫研究Spin流形上非線性狄拉克方程解的一般存在性、唯一性等問題。另一方面，由於高維空間中曲面的Spinor表示不再成立、非線性狄拉克方程的研究結果不多，使得旋量場方法在子流形幾何中還沒有得到充分的套用，這是我們計畫研究的一個部分。此外，狄拉克-調和映照等模型的一般存在性問題，由於歐拉-拉格朗日方程組的耦合特徵以及對應泛函的強不定性質，使得已有方法不再有效，從而問題變得很困難，是令人關注、有待解決的問題，我們將對此及一些相關模型進行研究。我們還計畫用新的方法構造狄拉克-調和映照。 通過本項目的研究，將使我們從理論結果和研究方法上對於Spin流形上的非線性狄拉克方程、含狄拉克方程的耦合組，以及子流形幾何有更進一步的理解。
結題摘要
按照項目計畫，我們主要研究了Spin流形上狄拉克方程解的一般存在性、唯一性問題、狄拉克-調和映照的一般存在性、唯一性、梯度估計與Liouville性質、狄拉克-調和映照的熱流等問題，以及與此相類似的V-調和映照的相關問題，並進一步給出這些結果在子流形幾何中的套用。我們與合作者首先得到齊次狄拉克方程的零邊值問題解的平凡性，結合經典的L^p估計，得到關於非齊次狄拉克方程邊值問題解的整體L^p估計，在此基礎上，我們進一步得到狄拉克方程在Chirality，MIT-Bag等類型的邊值條件下解的存在性、唯一性定理。對於沿著映射的狄拉克運算元，我們得到相應的邊值條件下解的存在唯一性定理。對於一般流形上的狄拉克叢及作用在其上的狄拉克運算元，我們證明了非常有用的Kato-Yau不等式。關於狄拉克-測地線，我們分別證明: 對於具有正高斯曲率，且滿足1/4-Pinching等條件的拓撲球面, 以及具有負歐拉示性數、高斯曲率滿足一個下界條件時的雙曲面，閉狄拉克-測地線的多解存在性定理。我們引入了帶初邊值條件的狄拉克-測地線的熱流方程, 證明了其整體解的存在性定理。 對於曲面情形的狄拉克-調和映照，我們給出了在一定的拓撲條件下， 曲面情形之間的非耦合狄拉克-調和映照的解空間維數估計，以及曲面狄拉克-調和映照的結構定理。在一般完備出發流形情形，對於從完備流形M映到目標流形N的測地凸球中的狄拉克-調和映照，我們建立了其梯度估計，並由此得出劉維爾型定理。我們引入了狄拉克-調和映照的熱流，並得到了狄拉克-調和映照熱流的局部存在唯一性定理。我們引入了V-調和映照概念，對於V-調和映照的熱流，在映照像落在測地凸球的情形，我們證明了最大值原理，然後運用連續性方法，得到整體解的存在性結果，由此結合最大值原理得到解的收斂性，從而得到邊值問題解的存在性。對於完備非緊流形，我們也證明了V-調和映照的存在性定理。運用V-調和映照的劉維爾型定理，我們得到了偽歐氏空間中自收縮解的的剛性定理。 我們還建立了完備黎曼流形上V-Laplacian運算元比較定理，由此導出新的廣義極值原理，並運用它得到關於平均曲率流自收縮解的和平移孤子解的剛性定理。
