《三維流形上的雙曲幾何》是依託復旦大學，由馬繼明擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三維流形上的雙曲幾何
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：馬繼明
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在本項目中,我們主要進行廣義的雙曲幾何及其在三維流形中的套用等相關問題的研究. 其中我們這裡的幾何包括有限體積雙曲流形,無限體積雙曲流形(既Kleinian 群的形變理論),各種與曲面相關的組合復形的Gromov 雙曲幾何, 以及雙曲的多面體幾何.而關於三維流形的理論我們這裡關心三維流形的拓撲、幾何,以及它們之間的關係. 特別是,我們關心三維流形的Heegaard 分解這一拓撲結構與三維流形的雙曲幾何的關係. 我們研究的具體問題是：1，skinning 映射與Heegaard 分解的距離的關係; 2，柄體的多面體雙曲幾何; 3, Riley 片的幾何極限,以及一般的柄體上的雙曲結構的幾何極限; 4，柄體的雙曲結構的一致幾何模型及在閉雙曲三維流形上的套用; 5,Hatcher-Thurston 復形的大範圍幾何及在Heegaard 分解中的套用.
結題摘要
在過去四年中，我們主要進行三維雙曲流形和四維雙曲流形等方面的研究。人們已知任意三維可定向閉流形都是某可定向四維流形的邊界， 既任意三維可定向閉流形拓撲配邊於零。我們考慮幾何配邊問題，即我們問什麼樣的三維雙曲流形是一個只有一個全測地邊界的雙曲四維流形的邊界，這個問題非常困難。在和鄭芳婷的合作論文中，我們證明當v是三維雙曲直角正十二面體的體積時， 對於任意的正整數n， 至少有2n個雙曲三維流形，他們的體積都是16nv， 並且他們的每一個都是一個只有一個全測地邊界的雙曲四維流形的邊界。四維雙曲流形現在研究的非常的少， 我們在120面體上構造出59個新的四維雙曲閉流形，並且計算出他們的相交形式。我們證明在隨機辮群模型下和隨機橋模型下的隨機鏈環是雙曲鏈環。我們亦繼續探討Lorenz紐結的雙曲性等問題, 證明兩類Lorenz紐結是雙曲紐結。 此外， 我們研究了三維柄體上的直角的雙曲多面體幾何， 並探討了一穿孔環面的Kleinian群結構的模空間的Self-bumping問題。
