《Non-Kähler幾何流中的若干問題》是依託天津大學，由戴嵩擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Non-Kähler幾何流中的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：戴嵩
- 依託單位：天津大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何流及其套用是近幾十年來微分幾何領域的重要課題。Hamilton引入的Ricci流使人們看到了幾何流方法的強大。於是人們自然想到用幾何流的方法去研究其他幾何結構。對於Kähler流形，可以直接運行Ricci流，即得到Kähler-Ricci流。而對於不滿足Kähler條件的non-Kähler幾何，直接運行Ricci流並不能保持相應的幾何結構。於是從2008年開始，Streets和田剛引入了一系列non-Kähler幾何流來研究相應的non-Kähler結構。本項目旨在對這些non-Kähler幾何流，特別是辛曲率流和廣義Kähler-Ricci流（或pluriclosed流）進行深入研究，從而解決與之相關的若干問題。具體問題涉及以下幾個方面：尋找辛曲率流中的單調性泛函，證明pluriclosed流最大存在時間的同櫻姜和章調類刻畫，構造廣義Hermitian曲率流。
結題摘要
幾何流是幾何分析領域的重要研究課題，也是研究幾何與拓撲的重要工具。1982年，R. Hamilton引入了里奇流，此妹懂後提出了用里奇流解決龐加萊猜想的綱領。2002年，佩雷爾曼在里奇流中引戒姜閥譽入了新的工具，從講槓凶而解決了龐加萊猜想。由此可見幾何流的櫻只境工具在研究幾何與拓撲的問題時的強大威力。另一方面，1985年，曹懷東發現在凱勒流形的背景下，里奇流可以自然運行，即保持復結構不動，里奇流自動保持凱勒條件，即凱勒里奇流。凱勒里奇流近些年來有很多進展，道多地特別是被用於研究極小模型綱領。而對於非凱勒流形，問題則要複雜得多，單純運行里奇流不足以保持相應的幾何條件。因此要想用幾何流的方法則其他幾何結構也必須按照某種方式演化。本項目的主要研究內容就是與非凱勒幾何流相關的問題。本項目提出了三個問題。第一個鴉享背問題，辛曲率流中的佩雷爾曼型的單調性泛函問題，我們通過深入研究，對佩雷爾曼型的泛函進行了分類，對單調性問題給出了否定回答。第二個問題，解的長時間存在性刻畫，我們研究了以曲率為障礙的長時間存在性問題。我們在這一問題上取得了一定進展，在四維情形證明了存在著一組好的標架可以使相關張量有簡潔的形式。這一結果後來被用於證明四維情形辛曲率流解的長時間存在的障礙。第三個問題，與廣義復結構相關的問題，我們研究了與廣義復結構相關的希格斯叢與希欽方程。該方程與楊米爾斯流密切相關。我們證明了在循環希格斯叢的條件下，希欽方程的解對應的能量密度沿著C流的單調性，推廣了希欽的關於能量的單調性的定理，我們還證明了控制型定理和負曲率定理。此外，我們還對離散曲率流進行了研究，證明了一定條件下離散R曲率流的長時間存在性和收斂性。上述結果加深了人們對幾何與拓撲之間深刻聯繫的理解。
