《超曲面的幾何與拓撲分類研究》是依託鄭州大學，由胡澤軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：超曲面的幾何與拓撲分類研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：胡澤軍
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
藉助基本幾何與拓撲不變數對典型黎曼流形中的超曲面進行刻畫和分類歷來為幾何學家所高度關注，是整體與局部微分幾何理論的核心課題，湧現了大批經典的深刻研究成果。近年來，伴隨著幾何分析方法、泛函的臨界點理論、微分拓撲學理論等在該課題研究上的成功運用和超曲面研究自身新理論、新思想的建立和新的研究方法的發現，該領域的研究又取得了顯著進展。本項目將依託課題團隊多年來從事相關研究的良好基礎，集中開展典型黎曼流形中具有特殊幾何與拓撲性質的超曲面的分類研究，特別是著眼於在包括下列課題的研究上做出創新性研究成果：球面中Moebius等參超曲面的分類，Dupin超曲面的分類，仿射微分幾何中與仿射球面緊密相關的超曲面的分類，復空間形式中常數主曲率實超曲面的幾何與拓撲分類，具有其它典型性質基本張量場的超曲面的幾何與拓撲關係研究。
結題摘要
課題核心是典型黎曼流形中的超曲面關於幾何與拓撲量的分類研究。內容涵蓋了包括仿射微分幾何、共形微分幾何和整體黎曼幾何的下述四個方面：具有平行三次形式（也稱為Fubini-Pick形式）的等仿射超曲面的分類研究；球面中Moebius等參超曲面和Blaschke等參超曲面的分類研究；一些典型黎曼泛函的臨界點性質及其相關問題的研究；黎曼流形Laplace運算元第一特徵值和典型黎曼流形的剛性現象研究。作為項目的重要成果，我們建立了一系列的分類：完全分類了具有平行三次形式的局部嚴格凸型、Lorentz度量型和一些低維情況的等仿射超曲面；完全分類了5維局部嚴格凸擬臍的齊性仿射超曲面；完全分類了球面中具有三個不同主曲率的Moebius等參超曲面和具有三個不同Blaschke特徵值的Blaschke等參超曲面。此外，還發現了一些特殊黎曼流形及其子流形的剛性現象。
