《DDVV猜想和等參超曲面理論的推廣及其套用》是依託北京師範大學，由葛建全擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：DDVV猜想和等參超曲面理論的推廣及其套用
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：葛建全
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何是微分幾何的重要部分，而等參超曲面理論是子流形幾何中一個生機勃勃的研究領域。 近年來，雖然子流形幾何中著名的DDVV猜想已被我們徹底解決，由於它和眾多學科領域間的密切聯繫及重要作用，關於DDVV猜想的各種版本的推廣及其套用卻仍廣受關注。另一方面，球面中等參超曲面理論也不斷出現突破性進展和重要套用，極大地促進了人們的研究熱情和興趣。本項目將在已有優勢研究基礎上，以DDVV猜想和等參超曲面理論的推廣及其套用為主要研究方向繼續進行深入研究。我們計畫研究：DDVV不等式各種版本的推廣及套用問題；滿足DDVV不等式等號條件子流形的分類問題；球面中等參超曲面的分類問題及相關理論套用；一般黎曼流形中的等參超曲面理論及套用。
結題摘要
本項目研究了子流形幾何中的DDVV猜想和等參超曲面理論的推廣及其套用。項目成果目前已被《Advances in Math.》、《J. Reine Angew. Math.》、《J.Math.Soc.Japan》等著名數學雜誌接受發表了7篇SCI論文和1篇ALM叢書的綜述文章，另有3篇已標註基金的預印本。DDVV猜想是1999年由四個幾何學家共同提出的，它斷言實空間形式中子流形的數量曲率、法數量曲率、平均曲率之間存在一個最佳點點不等式，已於2007年被我們（J.Q. Ge & Z.Z. Tang）和Z. Lu分別獨立證明。這個幾何不等式等價於一個代數上的關於對稱矩陣的不等式，Z. Lu證明了它對子流形幾何中的Simons不等式具有很好的套用。本項目的一個重要成果 [1]是將此不等式推廣到與其“對偶”的反稱矩陣版本，並套用於黎曼浸沒幾何證得Simons型不等式。等參理論源自上個世紀30年代數學大師E. Cartan對實空間形式中常主曲率超曲面的研究。對單位球面中等參超曲面的分類問題, 也收錄在丘成桐教授的公開問題集裡，吸引了許多幾何拓撲學家的關注和研究，至今已幾乎被完全解決。本項目致力於研究黎曼流形中的等參超曲面或函式及其推廣和套用，獲得了一系列有意義的研究成果。特別地，我們[2]在7維Gromoll-Meyer怪球上構造了僅有兩個臨界點的transnormal函式（比等參弱）,證明了4維“怪球”上不存在transnormal函式。我們[3]引進了黎曼流形中的k-等參超曲面，並給出對稱空間中的一些分類和剛性結果；對（全）等參超曲面對應的焦流形，我們[5]證明了它們的極小或austere等性質。另外，我們[4]定義並分類了歐氏空間中的完備各向異性等參超曲面。與DDVV不等式相關，我們[6]研究了子流形高階平均曲率的變分問題。與等參理論相關,項目還研究了equifocal超曲面[7]，並應邀撰寫了關於陳猜想和等參理論的綜述文章[8]。
