《超平面構形的拓撲與組合學研究》是依託北京化工大學，由姜廣峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：超平面構形的拓撲與組合學研究
- 依託單位：北京化工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：姜廣峰
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
超平面構形(hyperplane arrangements)是有限維線性空間V中有限個超平面的集合A,是一類有非孤立奇點的超曲面.當V是複線性空間時,A在V中的余集C的拓撲結構與A的相交偏序集L(A)的組合結構及兩者的關係是這一領域的主要研究內容.我們主要研究:1、用組合與代數方法計算C的拓撲不變數.比如, 用組合的方法計算各類構形A的特徵多項式、Orlik-Solomon代數OS等，因為C的上同調代數與OS同構; 2、作為分次代數OS的上同調的計算及其與C的拓撲的關係; 3、C的基本群及相關問題,比如M.Falk提出的基本群的下中心序列的秩φ_k及其組合學解釋這一開放問題;4、沿A的對數導子模D(A)的代數結構,如極小生成元集合,自由性等.最近20年來,申請人在OS及其上同調,C的拓撲不變數, Falk的φ_k問題,自由性等方面都開展了研究,得到了一些成果,並發表在國內外核心期刊上.
結題摘要
超平面構形(hyperplane arrangements)是有限維線性空間V中有限個超平面的集合A,是一類有非孤立奇點的超曲面。當V是複線性空間時，A在V中的余集C的拓撲結構與A的相交偏序集L(A)的組合結構及兩者的關係是這一領域的主要研究內容。這一領域的研究涉及到了代數幾何學、拓撲學、幾何學、微分方程、組合數學等現代數學的許多分支。因此，這一研究領域引起了數學工作者的興趣，並不斷有新的結果產生。 本項目主要研究了一下內容：1、用組合、代數和幾何方法計算C的拓撲不變數。比如， 用組合的方法計算各類構形A的特徵多項式、Orlik-Solomon代數OS等，因為C的上同調代數與OS同構，而OS的Poincare多項式與A的特徵多項式可以互相轉變。以特徵多項式的計算為例，我們給出了幾何算法和代數算法。幾何算法對低維構形特別有效，而代數算法對一般構形有效並能夠及其實現。另外對相交偏序集及其中元素的Möbius函式值的計算，也給出了有效算法並可程式化。由這些計算可以直接知道OS的各個其次分支作為向量空間的維數。同時，對低維空間中平面個數較少的構形進行了分類。2、C的基本群及相關問題。基本群的計算比較難，我們利用組合的方法，對M.Falk提出的基本群的下中心序列的第三個秩φ_3（以下稱為Falk不變數）及其組合學解釋這一開放問題開展了較深入的研究，對帶符號圖構形的給出了組合學解釋。同時，對許多構形計算了Falk不變數，得到了一些成果，還利用Falk不變數作為不變數，對較低維數的構形進行了分類。並發表或即將發表在國內外核心期刊上。 3、關於超平面構形的自由性，我們做了一些嘗試性的研究，得到了一些結果，比如，有限反射群的可約性。4、本項目還嘗試在化學中的一些計算研究。主要研究限定介觀空間內分子的分布規律。比如納米管中原子的分布問題。採用基於晶格模型的密度泛函理論，對非均勻氣液成核和納米顆粒在氣液界面的穩定性進行了數學模擬。同時採用超平面構形理論，對相關對象進行了計算。比如，把碳納米管看成圖構形，計算了這類構型的Tutte多項式。
