列維-奇維塔聯絡

列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita connection），在黎曼幾何中， 是切叢上的無撓率聯絡，它保持黎曼度量(或偽黎曼度量)不變。因義大利數學家圖利奧·列維-奇維塔而得名。

基本介紹

• 中文名：列維-奇維塔聯絡
• 外文名：Levi-Civita connection
• 領域：數學

簡介

列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita connection），在黎曼幾何中， 是切叢上的無撓率聯絡，它保持黎曼度量(或偽黎曼度量)不變。因義大利數學家圖利奧·列維-奇維塔而得名。

黎曼幾何基本定理表明存在唯一聯絡滿足這些屬性。

在黎曼流形和偽黎曼流形的理論中，共變導數一詞經常用於列維-奇維塔聯絡。聯絡的坐標空間的表達式稱為克里斯托費爾符號。

黎曼幾何

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。

偽黎曼流形

偽黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold）是一光滑流形，其上有一光滑、對稱、點點非退化的 張量。此張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量。

偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定（通常要求非退化）。因為每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量，亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。

每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符號 。這裡 與 記作正特徵值及負特徵值的個數。注意 是流形的維數。黎曼流形就是以 作為符號。

偽黎曼流形的符號 稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外，洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有 符號的洛倫茲流形的模型。

和歐幾里得空間 可以被認為是黎曼流形的模型一樣，,有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間(Minkowski space) 是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為 的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的

有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量；因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。

形式化定義

設 為一黎曼流形（或偽黎曼流形），則仿射聯絡 在滿足以下條件時是列維-奇維塔聯絡。

無撓率：也就是，對任何向量場 我們有 ，其中 是向量場 和 的李括弧。

與度量相容：也就是,對任何向量場 我們有，其中表示函式沿向量場的導數。

沿曲線的導數

列維-奇維塔聯絡也定義了一個沿曲線的導數，通常用表示。

給定一個在上的光滑曲線和上的一個向量場，其導數定義如下