一類擬線性橢圓方程解的存在性及其性質研究

《一類擬線性橢圓方程解的存在性及其性質研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由張貽民擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類擬線性橢圓方程解的存在性及其性質研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張貽民
• 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院

項目摘要

本項目主要研究一類具有物理背景的擬線性薛丁格方程的駐波解，這類問題的研究可以轉化為研究一類擬線性橢圓方程的解。此類擬線性橢圓方程所對應的泛函在通常的Sobolev空間中無定義，通過變數代換，可以將其轉化成半線性橢圓方程。但是由於變換的非線性性和位勢函式的存在，通常的變分法不能直接套用。對此類擬線性橢圓方程現有的研究主要是針對次臨界增長時正解的存在性和穩定性，以及臨界指數增長時位勢函式和含臨界指數項係數滿足某些條件下非平凡解的存在性。本項目擬使用變分法及Orlicz空間理論，在非線性項含臨界指數情形，結合集中緊原理和Ekeland變分原理等，研究將位勢函式和含臨界指數項係數滿足的條件減弱時方程非平凡解與多解的存在性，係數與解的關係，係數變號時解的存在性等相關問題；對次臨界增長問題，結合dual方法、擾動理論和集中緊原理等研究相應問題束縛態解的存在性和集中性，進一步研究多峰解的存在性等。

結題摘要

本項目主要研究了一類具有物理背景的擬線性薛丁格方程駐波解的存在性以及穩定性等。具體內容包括：1、當非線性滿足次臨界條件情形，利用臨界點理論，在不滿足超二次型條件下，得到了一定條件下非平凡解的存在性；2、當非線性滿足次臨界條件情形，利用罰函式和局部山路引理的方法，得到了多峰解的存在性； 3、當非線性項同時含有臨界Sobolev指數和臨界Sobolev-Hardy指數時，得到方程非平凡解的存在性，而後將該結果推廣到更一般的含多重臨界指數p-Laplace情形；4、當非線性項含有臨界Sobolev指數且方程含有Hardy項時，利用非線性泛函分析的方法，得到了方程正解的存在性；5、為了進一步得到方程駐波解的性質，例如適定性和駐波解的穩定性等，從而加深對方程本身結構的理解，項目主持者與合作者共同研究了Novikov方程和Camassa-Holm方程適定性以及整體解的存在性等一系列結果。6、考慮了次臨界情形下的Schrodinger方程組，利用Compactness-Concentration原理，分別得到不同約束條件下極小解的存在性和穩定性結果。