《退化k-Hessian方程解的正則性研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由田谷基擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：退化k-Hessian方程解的正則性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：田谷基
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
我們研究退化k-Hessian方程Dirichlet問題的解的正則性或部分正則性，並套用到非線性光學中一個強非線性的橢圓型問題解的性質研究。當非齊次項光滑但在邊界上退化時, 尋找邊界值函式,嚴格的（k-1）凸邊界以及非齊次項三者之間的相容性條件,以保證全局光滑解的存在性。建立N.V.Krylov 的（退化）正則性理論和N.Trudinger的邊界向量場方法之間的聯繫,得到解的二階法嚮導數的邊界估計;構造類似於研究Monge-Ampere方程的Legendre變換，把k-Hessian方程轉化為一類散度型擬線性退化橢圓方程組，由此得到解的所有二階導數的連續模估計。當非齊次項僅關於部分變數光滑時，首先利用Levi基本解方法，得到Poisson方程和一致線性橢圓方程解的部分正則性，進而得到非退化k-Hessian方程線性化方程以及本身解的部分正則性，最後得到退化k-Hessian解的部分正則性
結題摘要
從微分幾何的角度來說，k-Hessian方程來自於Christoffel-Minkowski問題，特別地，當k=1時，k-Hessian 方程即為平均曲率方程；當k=n時， k-Hessian方程即為Monge-Ampere 方程，它對應於給定曲率的Minkowski問題。當非齊次項非負時，方程可能是退化的。在本項目中， 我們研究k-Hessian方程解的正則性，得到如下主要結果：當k＞1時，證明一類完全非線性二階拋物方程解的先驗估計; 在得到退化k-Hessian方程的二階多項式解的完全分類後，證明其光滑局部解存在性，以及在一定條件下， 凸解的存在性；當k=1時，討論在多種位勢條件下，非線性Schrodinger方程的變號解的存在性及其漸近性態。其意義在於：得到完全非線性二階拋物方程解的內部的部分正則性，推廣了相應的線性方程的經典的內部的正則性結果；找到了判定k-Hessian方程的線性化運算元的一致橢圓性的充分必要條件；與通常的認知不同，在具有變號和消失位勢的條件下，證明關於非線性Schrodinger方程的變號基態解的存在性。
