《Hermitian流形上的完全非線性偏微分方程》是依託哈爾濱工業大學，由矯賀明擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Hermitian流形上的完全非線性偏微分方程
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：矯賀明
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何中很多問題可以通過求解Hermitian流形上的偏微分方程來解決。本項目將研究Hermitian流形上具有一般形式的Hessian型方程。這類方程（特別是作為它特殊情形的Monge-Ampère型方程）是幾何分析中一類重要的完全非線性偏微分方程 ，它出現在許多幾何問題和理論物理問題中，如Calabi猜想、Chern-Levine-Nirenberg猜想、Gauduchon猜想、Strominger系統的求解等。在本項目中，我們分別考慮帶邊Hermitian流形和不帶邊Hermitian流形（稱之為閉Hermitian流形）上的Hessian型方程兩種情形，並且重點研究這類方程的先驗估計，為此，我們將深入研究對稱凹函式的水平集的幾何性質。本項目還將探索能夠保證解存在的幾何條件，特別地，我們將研究Székelyhidi在2015年提出的關於此問題的一個猜測。
結題摘要
流形上的完全非線性方程出現在許多重要的幾何問題和理論物理問題中，如Calabi猜想、Chern-Levine-Nirenberg猜想、Gauduchon猜想、Strominger系統的求解等，這些方程通常是Monge-Ampère型的。我們的目的是構建完全非線性方程的一般性理論。我們首先研究了一類Hessian型方程的先驗估計，並得到了容許經典解的存在性。接下來，我們考慮了關於退化k-Hessian方程的Dirichlet問題廣義解正則性的一個公開問題，在附加了一個條件後得到了解的先驗估計，從而取得了一定進展。最後，我們研究了流形上的一類完全非線性偏微分方程，得到了容許解的二階先驗估計。
