《環流形上的Calabi極值度量》是依託北京大學，由周斌擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：環流形上的Calabi極值度量
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：周斌
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Kahler流形上典則度量的存在性是復幾何研究的一個基本問題。有關該問題有著名的Yau-Tian-Donaldson猜想，即緊Kahler流形上極值度量狼影贈的存在性等價於流形在幾何不變數意義下的穩定性。本項說挨境承目將主要圍繞環流形上一般的Calabi極值度量的存在性問題進行。我們的研究還是涉及兩個方面，即K-穩定性方面和極值度量的存在性方面。Donaldson對該問題有一個約化。其中，K-穩定性可以約化為一個凸多面體上的實線性泛函的正定性；而乘才記存在性則可約化為一個完全非線性偏微分方程問題。由於知道該方程的能量泛函即K-能量，我們計畫用Trudinger-Wang在研究仿射Plateau問題時採用的變分方法來研究解的存在性。我們近期對這兩個方面的研究都已經有一些重要的進展，我們將在此基礎上做更深入的研究。
結題摘要
本項目主要圍繞Kahler流形上典型度量存在性，尤其是環流形上的Calabi極值度量等，並研究相關的流形幾何不變數意義下的穩定穩定性、對應的完全非線性偏微分方程等問題。我們首先對Abreu方程各類問題，包括邊值問題、整體解分類、障礙型問題等做了深入研究。其中，最關鍵的是對方程正則性理論的討論。在此基礎上，我們又用Trudinger-Wang在解決仿射 Plateau 問題中的變分方法，得到了環曲面上極值度量弱解的存在性，內部光滑性和唯一性。邊界正則性仍然是個困難的問題，有待進一步研究。項目的另一個重要成果是通過使用Riemann-Roch理論研究修正Futaki不變數和修正K穩定性，提出了關於Kahler-Ricci孤立子存在性的廣義丘成桐-田請體剛-Donaldson猜想。此外，我們還對紙拒槳蒸非線性方程的位勢理論記立章做了多方面的奔謎榆研究，包括復Hessian方程、Weingarten曲率方程等。
