《流形上的一類完全非線性偏微分方程》是依託浙江大學，由盛為民擔任項目負責人的面上項目。
《流形上的一類完全非線性偏微分方程》是依託浙江大學，由盛為民擔任項目負責人的面上項目。項目摘要 本項目致力於研究以高階Yamabe問題為中心的幾何中的一類非線性問題，以及它們在幾何與物理中的套用。我們計畫重點研究黎曼幾何中帶邊流形的k-Yamabe問題的存在性和解集的緊性和CR幾何中的k-Yamabe問題的解的存在性，...
復幾何中的許多重要問題可以通過對相應幾何偏微分方程解的存在性和唯一性的研究而得以解決。本項目主要考慮復Hermitian流形上的一類完全非線性橢圓型方程及其相對應的拋物流。我們將研究拋物流的先驗估計、長時間解和收斂性，並藉此解決橢圓型方程的可解性。而另一方面，同一個橢圓方程可以對應多種不同的拋物流。這些拋...
流形上的幾何與分析是上世紀後期發展起來的重要數學分支，所研究的問題極富前沿性、挑戰性和創新性。本項目組成員通過分工和合作在幾何發展方程及其幾何套用方面；完全非線性偏微分方程及其在復幾何中及凸幾何中的套用方面；預定曲率問題及廣義Yamabe 問題；帶分支點的曲面與Willmore 泛函方面取得了一系列重要成果。
《Toric流形上的幾何》是依託四川大學，由盛利擔任項目負責人的面上項目。項目摘要 極值Kahler度量的研究是復幾何中十分重要的研究分支之一，不僅其本身是很基本的問題，重要的是對它的研究會涉及到許多高階Monge-Ampère 型方程,此類方程的研究難度大，理論還很不成熟，需要發展新的手段和方法。本項目擬在前期工作的...
《流形上的Schrodinger 映射及相關理論》是依託浙江大學，由翟健擔任項目負責人的面上項目。項目摘要 發展Schr?dinger運算元的光滑化估計，特別是流形上的Strichartz估計；建立流形上非線性Schr?dinger及相關類型偏微分方程的適定性理論;證明流形上Schr?dinger 映射整體解的適定性；研究Landau-Lifshitz-Maxwell方程奇異解幾何...
在一定的幾何條件下證明完備流形上Ricci流長時間存並收斂到一類拓撲比較簡單的度量。我今後幾年內科研工作的重點是利用kaehler-Ricci流研究代數流形的分類問題。另一個有趣的問題是研究Ricci Soliton的分類問題。Kaehler-Ricci Soliton是Kaehler-Ricci流的自相似解，是Kaehler-Einstein度量的推廣。
流形上的偏微分運算元，定義在整個微分流形上的偏微分運算元。在一個未知函式的情形，m階線性的偏微分運算元是M上C∞函式的集合C∞(M)到C∞(M)的一個線性映射l，而在每一坐標區域中，l可表示為這裡顯然，在兩個坐標區域的重迭部分，l的兩種表示可以通過坐標變換互相轉換。例如，黎曼流形上的第二類貝爾特拉米運算元，在...
研究中，不動點理論、拓撲度、變分方法(包括臨界點理論)、上(下)解方法、單調運算元理論、非線性半群、隱函式定理及變分不等式等方法和工具不斷發展並得到了新的套用.微分流形上的偏微分方程的研究也取得了許多深人的結果，微分幾何與偏微分方程的相互滲透成為一個重要的發展趨勢。偏微分方程 偏微分方程中常以 為...
蒙日一安培方程是一類從黎曼幾何問題中提出來的二階完全非線性偏微分方程，同時也是卡拉比-丘流形證明時曾用的工具。蒙日一安培方程由於其完全非線性的特性使得其求解一直是一個困難的問題。蒙日一安培方程的套用十分廣泛，在微分幾何、變分法、最最佳化問題及傳輸問題等領域均有套用。數學表示 定義兩個非獨立變數 ，以及...
《非線性波方程在不變流形上的精確解和分支（英文）》是2019年科學出版社出版的圖書，作者是Li jibin（李繼彬）。內容簡介 本書的**個目的是對行波解的分類和對奇異非線性行波方程所產生的峰、周期峰、偽峰和緊子的概念進行更系統的解釋。從奇異攝動理論的動力系統和思想，我們證明周期性峰是行波系統的兩個時間...
纖維叢理論的發展把幾何學的群的結構和流形的微分結構有機地結合起來。陳省身對整體微分幾何的發展做出了重要貢獻。他用代數的方法通過聯絡和曲率作出了底流形的一些上同調類，包括陳示性類等。近代微分幾何的發展，需要運用更深入的更現代化的分析工具，特別是偏微分方程理論以及與之有關的非線性分析，丘成桐在這...
《流形上的層》是2014年3月1日世界圖書出版公司出版的著作，作者是[日] 柏原正樹（Masaki Kashiwara），Pierre Schapira。內容簡介 層論是代數拓撲、代數幾何和偏微分方程的交叉形成得一個很現代，很活躍的領域。《流形上的層（英文版）》從層論的基礎講起，強調微局部觀點。包括了許多有趣的觀點，寫作風格清晰明...
引力論的基本問題是要說明質點在引力作用下的運動軌線問題，在廣義相對論中運動軌線為流形上類時（即“弧長”平方為負）的測地線，類時意味著質點的速度低於光速，測地線是變分 (7)所得微分方程的解。愛因斯坦的引力場方程是一個關於gij的二階偏微分方程 (8)式中Rij 稱為里奇張量，是由gij的一、二階...
即無粘性流體運動方程（見流體力學基本方程組）。影響意義 後人在此基礎上又導出適用於可壓縮流體的N-S方程。以應力表示的運動方程，需補充方程才能求解。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，在求解思路或技術沒...
我們相信在努力解決這些具體問題的過程中，將會進一步地提升我們對於流形上的分析技巧以及偏微分方程工具的掌握。. “流形上的譜分析”與“曲率流”是幾何分析的熱門研究領域，有不少學者致力於這些方面的研究，取得了很多標誌性的研究成果，比如：Cheng-特徵值比較定理、基本間隔猜想及3-維龐加萊猜想的證明等等。....
泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；當考慮引力場時，有△Φ=f（f為引力場的質量分布）。後推廣至電場磁場，以及熱場分布。該方程通常用格林函式法求解，也可以分離變數法，特徵線法求解。方程的敘述 泊松方程為 在這裡 代表的是拉普拉斯運算元，而f和 可以是在流形上的實數或...
在幾何分析中，Ricci曲率流、平均曲率流的奇性研究對流形的幾何拓撲結構的了解十分重要。本項目將對某些非線性拋物型偏微分方程的奇性的形成及其正則性進行深入地研究，我們注重兩類奇性：爆破和淬火，對於淬火問題，我們進一步研究一般有界域上的二分現象以及不完全淬火問題解的部分正則性；同時我們還將對一類四階拋物...
近半個世紀以來，黎曼幾何的研究從“局部”發展到“整體”，產生了許多深刻的並在其他數學分支(如拓撲學、偏微分方程論、多複變函數論等)及理論物理中有重要影響的結果。黎曼幾何已成了現代數學的重要內容之一。黎曼幾何是黎曼流形上的幾何學，黎曼流形是局部歐氏化的微分流形。設M是n維微分流形，若在每點p∈M的...
這些函式的集合具有顯著的凸性，這些凸性又與辛流形上的李群作用有關。動力學、幾何學和凸性之間的相互作用是當前非常感興趣的領域。例如，凸分析的結果給予意想不到的洞察力到李理論的同構群和性質的解決方案，某些高度非線性偏微分方程。3.無限維流形和李群。在幾何學和數學物理學中，人們經常處理不是通常意義上的...
與其說它們研究的仍然是函式，不如說主要是某些函式空間（函式類）和運算元（變換）更為恰當，有關研究已推廣到了群、流形或其他抽象的基域上。位勢論的發展有類似的情況。經典的位勢論研究牛頓位勢（一類偏微分方程邊值問題的積分形式的解），而現代位勢論中所討論的一般位勢，實質上與牛頓位勢相似，無非是關於...
1. 《流形拓撲學——理論與概念的實質》，2010年10月，科學出版社 2. 《非線性演化方程的穩定性與分歧》，2007年4月，科學出版社（與汪守宏教授合著）3. 《偏微分方程理論與方法》，2011年8月，科學出版社 4. 《從數學觀點看物理世界——幾何分析、引力場與相對論》 2012年10月，科學出版社（此為“從數學...
楚健春主要研究方向是微分幾何與偏微分方程，包括復幾何中的完全非線性偏微分方程，復Monge-Ampere方程，Deformed Hermitian-Yang-Mills方程等。主要成就 楚健春與朱小華、黃立鼎合作，證明了緊緻Kahler流形上Fu-Yau方程的可解性，後來又將該結果推廣至緊緻Astheno-Kahler流形。與周斌合作，證明了緊緻Hermitian流形上Pluri...
（3）研究高維情況下Fucík譜基本性質，解決人們長期關注的從Fucík譜分出分支曲面的問題。特別是給出Fucík譜(II)型區域存在性的一個充分條件；還證明了Conley同倫指標平凡與臨界群平凡之間的等價關係，這一等價關係對跳躍非線性問題可解性起至關重要的作用。（4）建立一類與Nehari流形有關的新型環繞定理並發現超線性...
2021年11月，與合作者程經睿在偏微分方程和復幾何領域取得了“里程碑式結果”：解出了一個四階完全非線性橢圓方程，成功證明“強制性猜想”和“測地穩定性猜想”這兩個國際數學界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若干有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。相關的兩篇論文發表於國際著名刊物《...
非線性方程及其套用，Monge最優運輸問題，凸幾何分析，曲率流，黎曼流形中的分析問題。主講課程 2020年春夏學期 實變函式 黎曼幾何 2019年秋冬學期 偏微分方程(英文課程)學術成果 The Lp dual Minkowski problem and related parabolic flows (with H. Chen). Preprint.PDF The Lp dual Minkowski problem and related...
，於是問題可歸結為求下列φ的微分方程：，其中 是由 和 而定的實函式，與上述猜測(通常稱為第一猜測)有關尚有下列第二猜測：若 為緊緻流形，第一陳類C₁為負，則滿足 的克勒度量存在且只有一個，這種度量就是所謂克勒-愛因斯坦度量，這時微分方程變為 奧平(T.Aubin)（即下文“奧賓”）於1976年初解決了第...
這些結果以及他們在研究中提出的克服流形倒塌所帶來巨大困難的新技術在四維Einstein流形的研究中具有一定的意義。退化復Monge-Ampere方程 田剛與陳秀雄合作，利用全純圓盤的葉化，建立了退化復Monge-Ampere方程部分正則性的理論，利用之證明了Kaehler極值度量的唯一性。這項研究在Kaehler幾何，非線性偏微分方程，與無窮維黎曼...
後者以及前述的臨界點理論，都已成為研究非線性偏微分方程的標準的工具。微分拓撲學的進步，促進了分析學向流形上的分析學(又稱大範圍分析學)發展。在托姆的影響下，然後隨意扭曲，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統的理論。就是流形上的常微分方程...
