《復幾何中的偏微分方程及相關拋物流》是依託復旦大學，由孫偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：復幾何中的偏微分方程及相關拋物流
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孫偉
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
復幾何中的許多重要問題可以通過對相應幾何偏微分方程解的存在性和唯一性的研究而得以解決。本項目主要考慮復Hermitian流形上的一類完全非線性橢圓型方程及其相對應的拋物流。我們將研究拋物流的先驗估計、長時間解和收斂性，並藉此解決橢圓型方程的可解性。而另一方面，同一個橢圓方程可以對應多種不同的拋物流。這些拋物流顯現出不同的幾何性質（比如曲率和泛函）並且有著不同的套用，尤其是在閉Kahler流形上。我們將考查不同的拋物流，來研究Hermitian流形（包括Kahler流形）的性質。
結題摘要
在復幾何的研究中，許多的研究對象都涉及到了完全非線性橢圓型偏微分方程。例如著名的Calabi猜想，Kahler-Einstein度量的存在性以及複流形上各種極值度量。這些問題不僅關係到數學研究的進展，也與理論物理學有著密切的聯繫。研究這類方程的一個方法就是直接研究橢圓型偏微分方程的可容許解，不過在閉流形上較為困難；另一個經典方法就是構造合適的拋物流方程，證明拋物流方程解會收斂於相應橢圓方程的可容許解，從而可以通過拋物流的性質來推測可容許解的性質。 在本項目中，我們主要研究了一類形式比較基礎的幾何方程。對於這類方程，構造了幾類不同的拋物流方程來研究不同的性質。我們主要通過輔助函式和閘函式的方法推導了方程解的先驗估計並進而證明方程解的存在性。我們成功證明了閉Kahler流形上的復商方程可容許解的先驗估計和存在性，並研究了不同的拋物流方程。在Kahler流形的基礎上，我們進一步把部分結果推廣到更為一般的Hermitian流形上。這些研究成果整理成多篇論文，部分已被接受發表於《Communications on Pure and Applied Mathematics》《The Journal of Geometric Analysis》《Communications on Pure and Applied Analysis》等雜誌。
