一類退化橢圓方程的邊界正則性研究

《一類退化橢圓方程的邊界正則性研究》是依託陝西師範大學，由曹毅擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類退化橢圓方程的邊界正則性研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：曹毅
• 依託單位：陝西師範大學

項目摘要

退化橢圓方程是經典的一致橢圓方程的極限情形，具有重要的理論價值，比如研究它可以讓我們在一個新的高度上重新認識調和分析和牛頓位勢理論，從而建立起關於橢圓方程更加全面的理論基礎。同時退化橢圓方程也有著十分廣泛的套用背景，比如用它來研究跨音速流體問題（該問題可以歸結為一個混合型方程，而在流體進行亞音速流動的區域裡，可以歸結為一個退化橢圓方程），而掌握跨音速流體的性質在飛行器的設計和製造等工程中是非常重要的。另外在一些醫學圖象處理中，也涉及到退化橢圓方程的研究。各種類型的退化橢圓方程是近年來偏微分方程研究領域中十分活躍的方向之一，但仍有很多重要的問題沒有解決。本項目將主要研究一類線性退化橢圓方程在Lipschitz 區域中的邊界正則性估計，並為拓展其在實際中的套用奠定良好的理論基礎。

結題摘要

退化橢圓方程是經典的一致橢圓方程的極限情形，具有重要的理論價值和十分廣泛的套用背景。國內外關於這類方程已有很多研究成果，我們針對其中一類退化橢圓方程在Lipschitz 區域中的邊界正則性進行了深入研究。首先，我們給出了一個和這類退化橢圓方程相對應的內在距離函式，按照這個距離的定義，這類退化橢圓方程是伸縮不變的。這樣我們可以在不同尺度下觀察解的變化情況。其次，通過構造一族不同尺度的障礙函式，並使用疊代技巧，我們得到了解在邊界的Holder估計。再次，在研究中我們還通過數值實驗的方法得到退化橢圓方程的解的梯度在邊界的近似值，幫助研究所得到的結論。最後，為了將類似的結論推廣到拋物方程中去，我們還研究了非線性拋物方程的Holder估計和拋物距離空間中Holder連續函式的延拓性質。另外，我們還研究了一類方程組有解的條件及其Pohozhaev恆等式。通過上述工作，我們得到了一些結論，目前已在國內及國際學術期刊上發表論文4篇，還有部分工作已投稿於SCI期刊。