《退化型和帶奇異性非線性偏微分方程的微局部分析》是依託武漢大學，由徐超江擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：退化型和帶奇異性非線性偏微分方程的微局部分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：徐超江
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究以下四個方面的問題：一、非線性Boltzmann方程的解的正則性；二、退化橢圓型Monge-Ampere方程、Heissan方程以及Heisenberg群上的完全非線性偏微分方程的解的正則性；三、奇異性流形上的非線性偏微分方程的解的存在性和正則性；四、復域中的非線性奇異方程的形式解及可和性。上述四方面的問題的共性是退化型或者帶奇異性的非線性方程，而微局部分析是七十年代發展起來研究這一類非線性方程的有效方法。因此，本項目的特色是利用項目申請人過去在這方面的工作積累，將微局部分析等調和分析方法套用於研究上述非線性問題。我們已經在這些問題上得到了一些很好的結果，因此本項目的立項是有堅實的基礎的.
結題摘要
在本項目的資助下，我們正式發表了SCI論文17篇，另外還有已接收發表論文2篇，已完成及投稿5篇。我們主要開展了以下幾個方面的工作：1. 非線性Boltzmann方程的研究：我們套用微局部分析方法研究解的存在性及正則性，建立了Boltzmann方程的完整的譜理論，證明了Gelfand-Shilov正則性；2. 完全非線性方程的研究：我們研究了退化Hessian方程的局部可解性，給出了多項式解的一個分類以及擾動光滑解的存在性；3. Prandtl邊界層方程的適定性：我們在單調性條件下用能量積分方法證明了Prandtl方程的適定性；4. 奇異流形上的非線性偏微分方程的解的存在性和正則性研究：我們利用現代變分方法得到了帶錐奇異型和楔奇異型流形上的半線性偏微分方程的正解存在性以及多解存在性結果；5.復域中的非線性奇異方程：我們得到了方程形式解的可和性與一類n個復變數的超幾何級數的和函式的積分表示.
