《退化型非線性橢圓方程的分析與套用》是依託武漢大學，由劉曉春擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：退化型非線性橢圓方程的分析與套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉曉春
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究退化型或者帶奇異性的非線性偏微分方程的解的存在性、正則性以及形式解的性質等問題，這類問題來源於套用學科領域，有著深厚的幾何和物理背景。我們的研究主要側重以下兩個方面：一、奇異流形上的退化型非線性偏微分方程的解的存在性和正則性問題；二、復域中的非線性奇異方程的形式解和可和性研究。這兩類問題的共性是由退化型或奇異性運算元構成的非線性偏微分方程，而微局部分析和變分法則是解決上述兩類問題的有效方法。本項目申請人及其參加者在以上兩個方面有較多的工作積累，得到了一些很好的結果，本項目的申請既是前期工作的延續，也是更進一步和更深層次的研究，因此本項目的立項是有堅實的基礎的。
結題摘要
本項目主要研究退化型或者帶奇異性的非線性偏微分方程的解的存在性、正則性以及形式解的性質等問題，這類問題來源於套用學科領域，有著深厚的幾何和物理背景。我們的研究主要側重以下兩個方面：一、奇異流形上的退化型非線性偏微分方程的解的存在性和正則性問題；二、復域中的非線性奇異方程的形式解和可和性研究。 在本項目的資助下，我們正式發表了SCI論文10篇，其他論文1篇，另外已完成論文3篇，已投稿2篇。我們主要開展了以下幾方面的工作：1、錐奇異流形上的退化型非線性偏微分方程的解的存在性研究：我們利用現代變分方法得到了帶臨界指標的錐奇異流形上不同非線性項下的偏微分方程或方程組的多解存在性結果；2、帶角奇異性流形上退化型非線性方程的研究：我們定義了帶角奇異性流形上的加權Sobolev空間，建立了相應的Sobolev不等式、Poincare不等式和Hardy不等式等，證明了Sobolev嵌入定理，並利用現代變分方法得到了相對應的半線性退化型偏微分方程正解以及多解存在性結果；3、對Kirchhoff型非線性偏微分方程、擬線性方程（組）以及分數階Laplace方程的非線性問題的研究：我們分別得到了不同假設條件下解的存在性結果；4、復域中的非線性奇異方程的形式解和可和性研究：我們得到了方程形式解的可和性和一類n個復變數的超幾何級數的和函式的積分表示。
