《變分框架下的一類非局部的橢圓問題》是依託華中師範大學，由王春花擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：變分框架下的一類非局部的橢圓問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王春花
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要在變分框架下研究高維的Choquard方程的基態解的存在性、唯一性及非退化性和非局部的Schoringer-Newton方程組和非線性項為Hartree型的帶電磁位勢的Schrodinger方程在位勢函式和非線性項滿足不同條件時解的存在性以及解的性質，尤其是無窮多解和多峰解的存在性。主要方法是擬套用目前套用廣泛的有限約化方法結合偏微分方程中的正則性理論和先驗估計。這類問題具有廣泛的物理意義。我們希望通過研究這類非局部的橢圓問題發展出非線性泛函分析中的新的方法和工具。
結題摘要
本項目主要研究了三類非局部問題：非線性薛丁格-泊松方程組、帶Hardy項的臨界增長的分數階拉普拉斯方程以及薛丁格-牛頓方程組解的存在性以及解的性態的研究。我們的主要工具是有限約化方法、爆破性分析結合局部的Pohozeave恆等式。這些問題都有具體的實際套用背景，因此研究它們是非常有意義的。我們的主要工作如下：首先，套用兩次約化方法結合局部的能量方法我們得到了非線性薛丁格-泊松方程組在非對稱位勢函式滿足某種很弱的衰減性條件下無窮多解的存在性；其次，套用爆破分析結合局部的Pohozeave恆等式我們得到了帶臨界指數增長的分數階拉普拉斯方程無窮多解的存在性；最後，套用有限約化方法我們得到了非線性薛丁格-牛頓方程單峰、多峰解的存在性，同時套用局部的Pohozeave恆等式結合爆破分析的技巧和極值原理我們還證明了單峰解和多峰解的局部唯一性。我們所考慮的這三類問題有一個共同的特性：都帶有非局部項，會產生一些新的困難，需要我們想辦法去克服。此外，涉及到很多複雜精細的計算，這需要很強的計算功底。
