具間斷係數非線性退化橢圓問題的正則性研究

《具間斷係數非線性退化橢圓問題的正則性研究》是依託北京交通大學，由鄭神州擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：具間斷係數非線性退化橢圓問題的正則性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：鄭神州
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

偏微分方程正則性一直是數學研究的前沿問題,本項目研究滿足幾種不同約束條件的、關於自變數具有間斷係數的非線性退化橢圓問題弱解梯度在Morrey空間、廣義Morrey空間和Orlicz空間的內部正則性和全局正則性、完全正則性和部分正則性；分別研究定義在歐氏空間上的非線性橢圓運算元和定義在分層冪零Lie群(如Carnot群和Heisenberg群)的次橢圓運算元的正則性問題、Green函式性質和其先驗估計,並考慮Green函式在相應橢圓方程內部正則性的套用;研究具有非光滑邊界（如：具Reifenberg邊界區域）退化橢圓方程邊值問題的整體正則性.該研究將在很大程度上豐富了偏微分方程和幾何分析領域的理論和方法。

結題摘要

在該面上基金的大力支持下,我們按期完成了課題的預期目標,主要成果體現在如下三個方面: 1.建立了退化X-橢圓運算元的Green 函式性質和先驗估計,並首次套用其估計式建立了非線性X-橢圓方程的正則性; 並得到外區域上p-次Laplace型退化次橢圓擬線性方程的Liouville定理。 2. 在4維情況下,分別建立了到球面和一般Riemann流形上的逼近雙調和映射能量恆等式以及在相應熱流問題上的套用; 得到映到Riemann流形上的雙調和映射在弱拓撲下的緊性; 在平面上得到指定平均曲率曲面方程的能量量子化並考慮其在有關熱流上的套用. 3.對於具有間斷主項係數的擬線性橢圓方程, 得到在自然增長條件下的最優正則性估計; 在可控增長條件下,得到具有VMO間斷主項係數的擬線性橢圓方程組在Morrey空間正則性.我們的多項成果發表在國際的重要刊物上,如:Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Analysis., Discrete Conti. Dyn. Syst. A/B, IMA J. Applied Math., Electronic J. Differential Equations等。另外，針對本課題的研究，我們訪問了國外知名大學數學系，並得到邀請報告和學術交流，參加在國內外召開的國際會議，並做邀請報告。同時課題的實施過程中培養該研究方向的若個博士和碩士研究生。