《幾何中的退化橢圓型方程》是依託北京大學，由韓青擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何中的退化橢圓型方程
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：韓青
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何分析在幾何學的研究中起了重要的作用，它的興起是在上世紀七十年代中後期和八十年代初期。在此期間，一系列與非線性橢圓型方程相關的重要幾何問題得到了解決，這包括Yamabe問題，正質量猜想以及Calabi猜想。橢圓型方程在這些問題的解決中起了關鍵性的作用。隨著（嚴格）橢圓型方程理論的完善，退化橢圓型方程已成為偏微分方程中重要的和活躍的課題之一，特別是與幾何和物理有關的退化橢圓型方程更是引起了廣泛的關注。由於退化性的多樣化，到目前為止退化橢圓型方程並沒有完整的理論，與之相關的一些重要問題也沒有得到完全解決。本項目著重研究與退化橢圓型方程相關的幾類重要幾何問題。這些問題的共同特點如下：方程本身定義在緊帶邊流形上，方程在內部為嚴格橢圓， 退化只發生在邊界。本項目試圖通過對這幾類退化橢圓型方程的研究，發現退化性對方程解的存在性和正則性的影響，從而建立與之相關的理論。
結題摘要
幾何分析在幾何學的研究中起了重要的作用，它的興起是在上世紀七十年代中後期和八十年代初期。在此期間，一系列與非線性橢圓型方程相關的重要幾何問題得到了解決。隨著（嚴格）橢圓型方程理論的完善，退化橢圓型方程已成為偏微分方程中重要的和活躍的課題之一，特別是與幾何和物理有關的退化橢圓型方程更是引起了廣泛的關注。由於退化性的多樣化，到目前為止退化橢圓型方程並沒有完整的理論，與之相關的一些重要問題也沒有得到完全解決。本項目著重研究與退化橢圓型方程相關的幾類重要幾何問題。這些問題的共同特點如下：方程本身定義在緊帶邊流形上，方程在內部為嚴格橢圓，退化只發生在邊界。本項目主要研究這些問題的解在邊界附近行為。這其中的一個重要課題是雙曲空間中的極小曲面方程的Dirichlet邊值問題。項目組建立了在一般邊界條件下解的整體最佳正則性結果，解決了林芳華教授於1989年提出的一個猜想。項目組還研究了解在邊界附近的漸近行為，在邊界奇點附近證明了解由切錐中的解一致逼近。
