一類非線性偏微分方程解的正則性研究

《一類非線性偏微分方程解的正則性研究》是依託武漢大學，由李維喜擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類非線性偏微分方程解的正則性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李維喜
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

Gevrey類是介於解析類和C∞類之間的函式空間，與C∞ 類相比，它更能精確地刻畫函式的光滑程度。本項目擬用Gevrey類微局部分析的方法， 包括擬微分運算元以及Gevrey類仿微分運算，研究如下幾類非線性偏微分方程解的Gevrey類（解析類）正則性。1.不可壓縮的 Navier-Stokes方程初邊值問題解的解析正則性，與已有的關於全空間以及環面區域情形時的解析正則性結果不同，本項目擬考慮一般區域情形下，解的內部解析正則性以及邊界解析正則性，並且對於整體解，討論其大時間性態。2.退化橢圓型的Monge-Ampère 方程解的Gevrey類正則性。這兩類方程不僅具有深刻的幾何背景（如Monge-Ampère 方程）和物理背景(如Navier-Stokes 方程)，而且作為對非線性偏微分方程的研究，在數學上也具豐富的理論意義。

結題摘要

在本項目中，我們研究一類具有物理和幾何背景的偏微分方程的亞橢圓性和正則性，並且取得了申請書上預期的結果。我們的成果可以概括為： (1)我們考慮二維的退化非線性Monge-Ampere方程，當解的Hessian矩陣有一個嚴格正的主元，並且滿足有限階退化條件時，我們建立了解的Gevrey 正則性。 (2)對於平坦底床上的穩定水波，當旋度函式僅僅是Hölder連續以及水波傳播速度快於流體水平速度時，我們證明了素有的流線(包括上自由表面)的實解析性。進一步，如果旋度函式具有一定的Gevrey正則性，則流函式也具有相同的Gevrey正則性。 上述正則性結果不僅對於周其波或者固波成立，而且對於水動力方程的解也成立。 (3)我們研究線性的帶約束外力勢能的Boltzmann方程的亞強制性，對於適當的初始值和外力勢能，建立了 Cauchy 問題解逼近穩態解的指數速率。 特別地，初始值可以選取的足夠好使得質量、能量和部分角動量守恆，而且我們的勢能可以包含一大類函式，包括多項式函式。 (4)我們考慮了一類動力學方程的模型，其中包括Landau型運算元，分數階動力學運算元以及Fokker-Planck運算元。這類運算元是不帶角度截斷的空間非齊次Boltzmann方程的線性模型。利用乘子的思想，對於適當的外力勢能，我們得到了運算元的整體亞橢圓性。 (5)對於twisted Laplace運算元，我們得到了整體的Gevrey和解析亞橢圓性，這類運算元和Schrödinger運算元密切相關。