《含負指數非線性項的橢圓型偏微分方程的正解》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由郭玉勁擔任項目負責人的專項基金項目。
基本介紹
- 中文名：含負指數非線性項的橢圓型偏微分方程的正解
- 項目類別：專項基金項目
- 項目負責人：郭玉勁
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
含負指數非線性項的偏微分方程在粘性流體中的薄膜（thin film）問題、微機電系統(MEMS)數學模型、物理中的電磁振盪、幾何中的平均曲率問題以及曲線收縮問題等領域有著廣泛的套用。本項目將重點分析兩類含負指數非線性項的橢圓型偏微分方程的正解: 一類源於微機電系統(MEMS)模型，另一類源於電磁振盪模型。具體研究的內容包括：(1) 套用分支理論及線性化運算元理論等方法，證明非對稱解(尤其是具有軸對稱性的非對稱解)的存在性; (2) 運用橢圓正則性等技術，根據正解在原點處的光滑性對正解進行分類；(3) 採用無窮維動力系統理論等方法，探討正解的精確奇異行為。本項目的研究結果將有助於完善含負指數非線性項的橢圓型偏微分方程理論和方法。
結題摘要
本項目主要研究了源於物理材料中的電磁振盪模型、微機電系統(MEMS)模型的含負指數非線性項的橢圓型偏微分方程問題。具體來說，針對R^2平面中模擬電磁振盪模型的奇異橢圓方程，證明了正徑向解的存在性與無窮多重性、奇異正徑向解的存在性與唯一性，分析了該類正解在解析無窮遠處的振動行為；通過運用橢圓方程正則性理論巧妙地建立Harnack型不等式，給出了奇異正解渦旋點的下確界估計與解析分類；在此基礎上，套用無窮維動力系統理論、Fourier分析等方法，本項目對渦旋點的局部漸近行為進行了二次精確描述。另一方面，在已有微機電系統(MEMS)研究工作的基礎上，本項目研究了外壓力作用下的MEMS橢圓方程，分析了臨界套用電壓的存在性及其對外壓力作用的依賴性。另外，本項目在質量近似臨界的非線性薛丁格方程、波色-愛因斯坦凝聚（BEC）中的非線性約束泛函等問題的研究方面，也取得了一些有意義的進展。在國際期刊J. Functional Analysis、Letters in Mathematical Physics、J. Differential Equations等雜誌上現已發表論文3篇（另有一篇論文正在審稿之中）, 正在完稿一篇；在本項目的資助下，2013年短期出訪加拿大McGill大學近一個月，參加兩次國際學術會議，先後短期訪問華東師大PDE中心、南開大學陳省身研究所，多次邀請國內外同行開展學術合作與交流。
