《帶間斷非線性項橢圓型偏微分方程》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由曹道民擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：帶間斷非線性項橢圓型偏微分方程
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：曹道民
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究具有重要物理背景的非線性偏微分方程，如研究描述不可壓理想流體的Euler方程定常點渦解的非線性自由邊值問題和與環形腔體（托克馬克裝置）中等離子的平衡態相關模型所導出的非線性橢圓型方程。這些方程具有間斷非線性項，以往的研究很少涉及。撇開這些問題的物理和套用背景，對這些方程的研究需要發展新的工具，其本身也是有意義的。我們將研究當某個參數很小時解集中在一個或幾個點的存在性，從而給出定常點渦解的光滑逼近解。我們還將研究非線性Schrodinger方程駐波解的軌道穩定性等。我們的研究將豐富變分學和偏微分方程的現有理論。
結題摘要
不可壓歐拉方程是描述理想流體運動的方程， 對其解的存在性等的研究一直是偏微分方程中的重要課題。定常解的研究對帶時間的演化方程Cauchy問題等解的長時間行為是必不可少的。 非線性Schrodinger方程在非線性光學，量子場論等領域有重要套用。非線性Schrodinger方程的Cauchy問題的研究吸引了許多數學家的注意，投身到該鄰域的研究，如R.Teman，J.Bougain, C.Kenig, T.Tao 等。非線性Schrodinger方程的駐波可以化成相應非線性橢圓方程正解的存在性，近幾十年來該領域的研究很活躍，是偏微分方程的重要研究課題。在不可壓歐拉方程定常渦解的研究方面，我們得到了下面結果：1. 我們討論了運用光滑解來逼近帶奇性的定常解問題，這方面的結果會對了解奇性的形成有幫助，相關論文已得到國外同行的多次引用和推廣； 2. 在不可壓歐拉方程定常渦補丁解(vortex patch)的存在方面,對任給Kirchoff - Routh 函式的非退化臨界點，得到了集中在其附近的歐拉方程定常渦補丁解。最近，我們證明了當區域是凸的時候，只有唯一一個定常渦補丁解。我們的結果解決了美國科學院院士A.Friedmann 和合作者30多年前提出的開問題。 在非線性Schrodinger方程研究方面，我們得到了下面結果： 1．非線性Schrodinger方程Cauchy問題, 在分數次Sobolev空間中研究了非線性Schrodinger方程Cauchy問題解對初值的連續依賴性，解決了法國T.Cazenave 在其專著中提出的開問題。T.Cazenave 和他的合作者推廣了我們的結果。 2．我們利用約化方法，通過建立局部的Pohozaev不等式， 在較弱的假設下證明了集中在幾個點附近的峰解（multi - bump）的唯一性，我們的條件基本達到了最優。 共發表論文10篇，培養博士畢業生3人，博士後2人。
