《關於偏微分方程解的正則性及奇點集結構分析》是依託哈爾濱工業大學，由杜式忠擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於偏微分方程解的正則性及奇點集結構分析
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：杜式忠
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬對偏微分方程解的正則性及奇點集的結構進行分析。這方面很多問題還沒得到解決。我們主要討論以下幾個相關的重要問題。一是關於超臨界非線性半線性拋物偏微分方程解的奇點集Hausdorff維數的最優上界估計，二是薄流體型偏微分方程非負解零點集的大小估計。三是關於半線性橢圓型偏微分方程靜態解的奇點集Hausdorff維數的最優上界估計，最後一個問題是關於靜態的調和映照的奇點集Hausdorff維數的最優上界估計。對於能量極小的調和映照，R.Schoen和Uhlenbeck[SU]在1982運用維數歸納的方法給出了奇點集的最優上界。林芳華於1999年將這個結果推廣到靜態的調和映照上，不過要加入額外的限制，即調和2維球面的非存在性。我們希望能移去這一限制，給出一個完整的結果。研究所用方法主要是幾何測度論中的技巧與工具。
結題摘要
本項目主要研究了 (1)非線性程度為臨界增長時的半線性拋物方程邊界弱解的部分正則性，得到了相關近似橢圓方程的部分正則性結果。作為套用，得到了邊界弱解u(x,t)當時間參數t趨於正無窮時的漸進特性。準確地說，得到了邊界解能量極限值的精確值為標準bubble能量的整數倍，分別對應於當t趨於無窮時，u(•,t)的Palais-Smale條件狀態。 (2)四階退化拋物薄流體方程非負弱解的存在性及Laugesen泛函的單調性。作為套用，得到改進後的關於零點集的部分正則性結果。 (3)非線性程度為超臨界增長時經典半線性橢圓方程靜態弱解奇點集Hausdorff維數的最優上界估計。 (4)[05,Ma-Trudinger-Wang]文中首次得到了判定最優映照光滑的充分條件，這一條件的較弱的版本在之後的一篇文章[09,Loeper]中被證明也是最優映照連續的必要條件，因此變得重要。我們討論了成本函式為測地距離平方時，黎曼曲面上Ma-Trudinger-Wang曲率張量正性的顯式判定條件。 (5)討論在不同度量下，光滑的或者連續的調和同胚的存在與非存在性。
