《偏微分方程中幾個問題的研究》是依託湖南師範大學，由戴求億擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程中幾個問題的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：戴求億
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究偏微分方程中的兩類重要問題.一類是特徵值問題;一類是橢圓運算元的弱連續性問題,這類問題與位勢理論有密切關係.關於特徵值問題我們主要探討線性運算元、擬線性運算元和完全非線性運算元的Faber-Krahn不等式,第二和第一特徵值的差、商估計以及高階特徵值的估計.使用的方法主要有變分表示加檢驗函式、曲率流、梯度估計以及對稱化等方法。關於橢圓運算元的弱連續性我們主要研究k- 曲率運算元和k-共形曲率運算元的弱連續性並在此基礎上建立起相應的位勢估計,包括下函式的擬連續性、基本解的漸近行為、奇點的可去性、邊界點正則的Wiener-判別準則以及Wolff-位勢估計等等。擬採用的方法有運算元的單調性、調和提升、解的正則性估計以及Harnack不等式等。本項目的研究內容在偏微分方程的研究中具有基本的重要性，因此，研究成果對推動偏微分方程的發展具有重要的理論意義。同時，問題的難度要求對研究方法或技巧有高度的創新。
結題摘要
本項目主要研究k-曲率方程、橢圓方程的特徵值問題、拋物型方程的門檻現象、以及半線性橢圓方程的邊值問題等，得到了一些很有意義的結果，在《J. Eur. Math. Soc.》、《Nonlinear Anal. TMA》、《P. Roy. Soc.Edinb. A》、《Acta. Math. Appl. Sin-E》等國內外著名學術期刊發表論文20篇。主要成果有：證明了橢圓運算元的特徵值的一些等周估計，部分解決了A.Henrot提出的一個開問題；給出了廣義平均曲率方程正解的先驗估計和存在性結果；發現了研究拋物方程門檻現象的一種新方法，由此證明了半線性拋物方程組的門檻結果；給出了一類四階非線性特徵值問題的解集結構及相關性質，部分解決了［Math. Ann. 348, No 1,(2010) 143-193］中提出的一個公開問題。 此外，項目組成員還研究了一些生物數學模型解的存在性、穩定性及分叉現象，獲得的結果發表於《Nonlinear Anal. RWA》、《Acta Math.Sci》等著名學術期刊。
