《幾類偏微分方程解的漸近極限問題》是依託東北師範大學，由李敬宇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：幾類偏微分方程解的漸近極限問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李敬宇
- 依託單位：東北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究當系統的某些參數趨於0時，偏微分方程解的漸近極限。總計兩類，五個具體問題。在第一類問題中，我們考慮定義在帶有薄層的複合介質上的橢圓型與拋物型方程，我們研究當外部薄層的厚度趨於0時，方程解的漸近極限。對熱方程，在有限時間[0,T]內，已經清楚極限解所滿足的方程，我們擬研究的第一個問題是T為無限時，熱方程解的漸近極限。第二個問題考慮定義在該複合介質上的擬線性退化橢圓型與拋物型方程（內部區域為p-Laplace方程，外部薄層為q-Laplace方程），我們擬研究當薄層厚度趨於0時，方程解的漸近極限。.下面介紹本項目擬研究的第二類問題。Hunter-Saxton方程來自於液晶材料，它屬於雙曲型方程，可以描述向列型液晶材料中波的傳播。圍繞該方程，我們擬研究三個問題：一是一般初值條件下，該方程粘性逼近解的收斂速率；二是該方程色散逼近解的收斂性；三是該方程粘性-色散逼近解的收斂性。
結題摘要
在國家自然科學基金青年科學基金資助下，我們發表了7篇SCI檢索論文。在3個方面取得了重要學術進展。 1. 對偏微分方程的強化問題，我們引入了一種研究複合介質上拋物型方程解的漸近行為的新框架，即通過能量方法建立解的先驗估計，通過發掘各向異性的熱張量與區域幾何結構的關係，精確地刻畫方程解的漸近行為。我們成功地將數學家 Brezis, Caffarelli 和Friedman關於橢圓型方程的工作推廣到各向異性拋物型方程。 2. 對趨化模型中行波穩定性問題，我們得到了三個結果：(1)我們考察了一類複合行波的漸近穩定性，這種複合波在一定程度上可以描述趨化問題中細菌的集中傳播現象。與以往的結果相比，我們的初始擾動不需要積分為零的假設，並且我們將該結果套用到帶邊區域的情形。(2)我們考察了帶有奇異（對數型）敏感度函式的拋物-常微趨化模型中行波的穩定性問題。這類行波在一端的漸近狀態為0（即真空）。為了克服奇異敏感度函式和真空帶來的困難，我們首先利用Hopf-Cole型的變換將原系統變為帶有真空的雙曲守恆律方程組，進而利用加權能量估計得到新系統的非線性穩定性，最後我們再得到原系統行波的穩定性，這一結果解決了Zhi-An Wang及Tong Li提出的一個公開問題。這種穩定性說明生物物種的演化是可觀測的，解釋了實驗現象的可靠性。(3)我們將結果(2)推廣到了拋物-拋物完全耦合趨化模型，克服了由非線性對流項和真空帶來的困難。 3. 在流體力學及相關雙曲型方程領域我們得到了三個結果：(1)利用能量方法，我們證明了當初值具有緊支集時，1維或2維鏡像等溫可壓縮Navier-Stokes方程組的光滑解在有限時刻破裂，從而將數學家辛周平的一個工作推廣了等溫流體的情形。(2)根據狹義相對論我們建立了高溫高速帶點粒子流支配的相對論Euler-Poisson方程組，利用Schauder不動點定理結合能量方法，我們考察了該方程組解的適定性及奇異極限等數學問題。(3)我們考慮帶有奇異非線性和阻尼的波動方程初邊值問題。這類波動方程可以描述簡易的微電子裝置（MEMS）。我們證明了該方程具有吸附電壓現象，即存在吸附電壓，使得當外加電壓小於吸附電壓時，方程存在整體小解；當外加電壓大於吸附電壓時，所有解均會熄滅。同時我們也考察了粘性主導極限，得到了波動方程和拋物方程的聯繫。
