《Gross-Pitaevskii方程駐波解及其相關的非線性橢圓問題》是依託武漢理工大學，由周煥松擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Gross-Pitaevskii方程駐波解及其相關的非線性橢圓問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周煥松
- 依託單位：武漢理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
原子玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)相關的巨觀量子態實驗和理論研究已成為現代物理學的重要前沿領域。Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述BEC現象的基本模型，是從理論上嚴格分析各種BEC現象的基礎。因此，GP方程的數學研究也自然成為人們關注的熱點問題。GP方程的駐波解及其相關的研究中涉及大量的非線性橢圓型方程問題。本項目將圍繞幾類典型的BEC現象所對應的GP方程來開展相關的橢圓型方程的數學研究,探討方程解的特性與物理現象的對應關係。擬研究的內容包括：吸引力下環形BEC對應的GP方程駐波解的性態分析以及相關結果對一般橢圓問題（如p-Laplace方程）的套用；雙組分BEC對應的GP方程組駐波解的存在性準則、解的集中或爆破行為分析；超Sobolev臨界增長的GP方程組解的非存在性如穩定解和有限Morse指標解的Liouville型定理；此外，還將研究分數階GP方程的穩態解及其相關問題
結題摘要
Gross-Pitaevskii (GP)方程是描述玻色-愛因斯坦凝聚(BEC) 現象的基本模型，對GP方程進行數學理論研究，不僅有助於理解和分析物理實驗中出現的BEC 現象，而且還可以從理論上預測新的BEC現象。本項目圍繞GP方程(組)及其一般形式的方程即非線性Schrodinger（NLS）方程以及與之相關的非線性橢圓型方程開展了系統深入的研究。 對於二維空間（2D）中吸引相互作用下BEC所對應的單個GP方程，利用約束變分極小化思想，通過分析解的梯度性質，再結合相應極限方程解的特性，我們給出了帶有一般深阱位勢的GP方程基態解的漸近性質。並且，針對某些典型深阱位勢（如：勢阱底部為有限個點、或為圓環/橢圓環、或為有限個有界區域等）下的質量臨界GP方程, 我們通過新的能量估計技巧，建立了基態解能量的精細估計，進而給出了基態解的最佳爆破率以及爆破點的可能位置，並對解的唯一性、對稱性等性質進行了討論。相關論文發表不久就被列入ESI高被引論文，還有部分結果獲得了湖北省自然科學二等獎。基於2D單個GP方程（Laplace運算元）的研究，我們還研究了多維空間中的p-Laplace型GP方程，通過分析p-Laplace運算元相應的Gagliardo–Nirenberg不等式的達到函式與相應極限方程基態解以及與極限方程在特定範數下的解的關聯，有效地避免了p-Laplace極限方程唯一性尚不清楚的困難，成功建立了p-Laplace型質量臨界的GP方程Lp約束基態解的最優能量估計和精確的漸近性態。 關於雙組份BEC對應的GP方程組，我們研究了(I)：組份內和組份間均為吸引相互作用以及(II)：組份內為吸引而組份間為排斥相互作用的GP方程組約束極小能量解與性質。我們的結果表明，情形(I)下的GP方程組，其組份內和組份間的吸引相互作用參數會共同影響解的存在性、唯一性以及解漸近行為；而情形(II)下的GP方程組，只有組份內的吸引相互作用參數會影響GP方程組解的存在性和漸近行為。並且，我們在多項式位勢下分別建立了兩種情形下GP方程組約束極小能量的最優估計以及解的漸近行為。對於帶一般冪次位勢（含負冪次）的GP方程組， 我們研究了解的存在性和穩定性。 此外，我們還開展了約束變分極小化方法在核磁醫學圖像中的套用以及相關偏微分方程的數值模擬和計算等方面的套用研究。
