《一類奇異擾動偏微分方程組及其極限問題的研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由王克磊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類奇異擾動偏微分方程組及其極限問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王克磊
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在 Bose-Einstein 凝聚態和生物數學中的競爭模型里，都可以觀察到所謂的相位分離現象。這類現象可以由一類奇異擾動偏微分方程組及其極限中的自由邊界問題描述。本項目將主要研究這類奇異擾動問題及相關的自由邊界問題。特別地，我們計畫研究：（1）一類奇異擾動拋物方程組的Gamma 收斂問題，以及強競爭系統的動態性質問題；（2）奇異極限中自由邊界的部分正則性、解及自由邊界在奇點處的漸近性質等問題；（3）一個相關的橢圓方程組全空間解的問題，包括具有多項式增長階的解的構造、具有線性增長階的解的 De Giorgi 型猜想，以及更一般的廣義 Liouville 型定理等問題。本項目的研究除了會在非線性偏微分方程的奇異擾動問題和自由邊界問題方面發展新的技巧和方法之外，對更好地理解物理和生物中的相位分離現象也是非常有幫助的。
結題摘要
在 Bose-Einstein 凝聚態和生物數學中的競爭模型里，都可以觀察到所謂的相位分離現象。這類現象可以由一類奇異擾動偏微分方程組及其極限中的自由邊界問題描述。本項目主要研究了這類奇異擾動問題及相關的自由邊界問題。特別地，（1）我研究了不同物種具有不同擴散係數的生物競爭方程組，刻畫了其奇異極限問題，並由此得到了強競爭情形解的若干動態性質；（2）我研究了Gross-Pitaevskii方程組全空間解的分類問題，並完全解決了關於該方程組的De Giorgi型猜想；（3）我研究了分數階 Gross-Pitaevskii方程組的分類問題，並得到了一維解的唯一性。在解決上述問題的過程中，一種新的、基於能量方法的平坦性改進估計被發展起來。該方法使得我們可以利用大尺度上的信息得到解在小尺度上的性態，並由此得到諸多關於橢圓型偏微分方程解的剛性結果。特別地，利用此方法，我重新證明了Savin 關於Allen-Cahn方程De Giorgi猜想的一個著名結果。
