《高維Aubry-Mather理論中的若干問題》是依託吉林大學，由王楷植擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高維Aubry-Mather理論中的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王楷植
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由物理學家Aubry,Le Daeron和數學家Mather分別獨立建立的Aubry-Mather理論，是上世紀保面積同胚研究領域最重要的進展之一。人們在諸多領域,如動力系統,固態物理和微分幾何中,都發現了它所揭示的現象。該理論自產生以來一直備受國內外知名數學家們的關注，迄今為止，它的發展已遠遠超出了保面積映射所能遍及的範圍。現在，Aubry-Mather理論仍是微分動力系統研究領域中最具重要性和發展潛力的研究課題之一。在本項目中，我們擬研究高維Aubry-Mather理論中的兩個問題：（1）近可積廣義哈密頓系統的作用極小測度問題；（2）具有哈密頓結構的偏微分方程的作用極小測度問題。
結題摘要
Mather理論和弱KAM理論是目前Hamilton動力系統研究領域中的重要課題。它們密切相關，並長期受到國內外數學工作者的高度關注，得到了較快的發展。在本項目中，我們緊密圍繞這兩個理論開展研究。具體成果如下：一、按原定計畫研究了Mather理論中的兩個問題。（1）近可積廣義Hamilton系統的作用極小測度問題。對於一大類近可積廣義Hamilton系統，我們研究了其作用極小測度（Mather測度）的存在性問題，從而在一定程度上解決了一類保體積系統在小擾動下動力學機制的保持性問題。（2）具有Hamilton結構的偏微分方程的作用極小測度問題。對於一類波動方程，我們定義了低維作用極小測度的概念，並且證明了其存在性。這種極小測度對應于波動方程的一類種弱解。據我們所知，這是一次全新的嘗試。二、在原定計畫之外，我們還對弱KAM理論中的一類基本問題進行了深入的探討。首先，研究了自治Lagrange系統的弱KAM理論核心工具——Lax-Oleinik半群的收斂速度問題；然後，在時間周期Lagrange系統中引入了新Lax-Oleinik型運算元的概念，完善了時間周期情形的弱KAM理論；最後，研究了新Lax-Oleinik型運算元的收斂速度問題。
