《一維準晶體上的KAM理論、Aubry-Mather理論及擴散理論》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由蘇喜鋒擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一維準晶體上的KAM理論、Aubry-Mather理論及擴散理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：蘇喜鋒
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本研究項目旨在將一維晶體結構上的Frenkel-Kontorova模型所得到的理論結果推廣到一維準晶體結構上，構建相應的三大理論，分別為全面的KAM理論（我們已經解決短程作用，這裡主要處理共振及長程作用情形）、短程和長程作用下的Aubry-Mather理論（有序的Aubry-Mather極小構型的存在性）、格點上的擴散理論（KAM不變環面在何種條件下破裂，KAM環面破裂後的擴散軌道是否存在、如何構造）。與此同時，由於關於晶體的的三大理論並沒有徹底得到解決，特別是擴散機制和長程作用下的Aubry-Mather理論，我們將會在研究準晶體的同時不斷完善晶體理論。在此基礎上，我們將進一步將所得到的理論結果推廣至高維晶體及準晶體情形。
結題摘要
關於一維準晶體的Frenkel-Kontorova型模型的研究，主要來源於固態物理中準晶體材料的穩定性，經濟學中的季節性變分原理，生物數學中的植物生長的圖式形成等等交叉科學領域。 我們運用哈密頓系統中的KAM理論、Aubry-Mather理論、弱KAM理論、變分法等工具來研究準晶體模型中的穩態構型、極小構型的存在性和穩定性，建立了比較全面的KAM理論（包括短程作用、長程作用、共振情形等）；在一般假設之下，我們建立了短程、長程作用下的Aubry-Mather理論。與此同時，我們不斷完善高維晶體理論，建立了任意維Aubry-Mather模型中的離散弱KAM理論；在時間步長趨於零時，離散弱KAM解收斂於相應連續方程的弱KAM解；在折扣因子趨於零時，折扣Aubry-Mather模型弱KAM解收斂於經典弱KAM解。另外，關於切觸哈密頓系統（推廣的連續折扣模型），定義隱式運算元半群，我們建立了相應的弱KAM理論，動態切觸哈密頓雅克比方程粘性的長時間漸進行為（收斂於穩態切觸哈密頓系統的粘性解）。最後，我們研究了與長程作用模型有關分式拉普拉斯運算元，利用變分方法，建立了此類半線性非局部運算元給出的橢圓方程的多解性。 此項項目有助於推動動力系統理論本身的發展和完善；還可以推廣準晶體材料的開發和套用，推動數學與物理、經濟、生物等等交叉科學研究的滲透與發展。
