《Navier-Stokes 方程組的若干存在性問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由黃祥娣擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Navier-Stokes 方程組的若干存在性問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：黃祥娣
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Navier-Stokes 方程是一類非常重要的非線性偏微分方程,它主要刻畫流體的運動行為，習櫻充灶在航空動力學、天體物理、地質力學、天氣預報、油氣探測和信息處理等有著極其重要的套用背景。我們將研究Navier-Stokes方程組在可壓縮束腿捉流體和非齊次不可壓縮流體中的退化性，奇性和強非線性的數學理論。這裡面包括1）高維可壓縮常係數和變係數的Navier-Stokes方程組一般大初值的存在性問題，特別是2維問題 2）高維可壓縮流體光滑解爆破點集的性質研究3）高維非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程及其相關模型的整體存在性問題。
結題摘要
本項目主要研究高維可壓縮流體允許真空初值的光滑解的適定性問題和奇性形成理論，以及弱解的存在性和唯一性問題，包括等熵/非等熵可壓縮Navier-Stokes方程組，可壓縮液晶流和非齊次不可壓縮流體等等。同時本項目也研究了高維Euler方程組的粘性極限消失的問題。項目組成員在執行期間取得了如下成果：(1)徹底解決了諾貝爾獎得主約翰納什(Nash)在1958年提出的關於可壓縮熱傳導流體不規則運動的奇性形成問題，並證明納什猜測對更為一般的非等熵流也成立。該技巧成功套用在一維完全可壓縮煮射朵剃流體的大時間漸近行為估計上，解決了該領域長期懸而未決的關於溫度一致有界估計的公開問題。(2)得到了三維完全可壓縮熱傳導Navier-Stokes方程組允許密度退化的大震盪初值的整體光滑解和弱解。這是允許真空初值的第一個光滑解（及弱解）的整體存在性結果，同時也是自1980年日本數學家Matsumura-Nishida建立的遠離真空態小擾動整體存在性理論以來的重要進展。該成果也部分解決了Fields獎得主P.L.Lions關於整體弱解存在性的猜想。 (3)對一般的光滑初值，建立了二維可壓縮Navier-Stokes方程組帶真空整體光滑解的存在性，極大地改進了Kazhikhov等在1995年對該類問題證明旋催擔的整體存在性結果。(4)首次證明三維可壓縮球對稱Navier-Stokes方程組局部弱解的存在性和唯一性。(5)揭示了高維液晶流、非齊次不可壓流體的爆破機制，並在此基礎上建立了相應模型含真空的整體強解存在性。 (6)得到了可壓縮磁流體方程組和二維不可壓縮非齊次流Cauchy問題允許真空初值的古典解的全局存在唯一愉洪性，對於三維Navier-Stokes-Fourier方程以及粘性依賴於密度的Navier-Stokes方程的一些特殊情形討論了局部強解的存在性以及解的爆破。 (7)一般初始條件下給出了非牛頓（剪下指標大於等於-1）流體整體弱解的存在性以坑糊樂及部分正則性。初始小擾動情況下或者在某些對稱性假設條件下得到了整體強解的全局存在性。 (8)在小擾動的條件下得到了碰撞衝擊波的漸近穩定性，同時針對激波、接觸間斷討論了Euler方程組的粘性消失極限問題，在小初始擾動情況下證明了由碰撞籃符悼激波所產生的接觸間斷以及反射激波的漸進穩定性。
