《兩類遷移擴散方程組的若干問題研究》是依託江蘇師範大學，由鄧超擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：兩類遷移擴散方程組的若干問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：鄧超
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
最近數值研究表明Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型對一些初值穩定而對另一些初值不穩定。此外,Bourgain-Pavlovic在[J.Funct.Anal.,255(2008),2233-2247]中構造了一類能量無限的周期初值用以證明Navier-Stokes方程組的不適定性。本項目擬使用周期初值函式的光滑截斷證明PNP模型在全空間中的不適定性或不穩定性。內容包括：建立PNP模型的端點雙線性估計；構造適當範數有界的非周期初值並結合雙線性估計證明PNP模型的不穩定性;分析使PNP模型不穩定的初值和本項目擬構造的初值之間的差異性質;直觀上Keller-Segel(KS)模型是PNP模型的特例,應具有更好的性質。因此項目將研究KS在BMO-2空間中的適定性和更大的函式空間中的不穩定性;比較PNP和KS的不穩定性理論,加深人們對PNP和KS的非線性結構的內在差異的認識。
結題摘要
電荷和物種的遷移擴散是物理學和生物學中最普遍的現象之一，關於這些現象的數值和理論研究是該領域中的重要課題。特別的，Poisson-Nernst-Planck模型、Keller-Segel模型（拋物-雙曲型、拋物-拋物型）和分數階擴散方程就是為描述這些現象而引入的比較成功的數學模型。關於它們的數學研究成果有助於人們認識上述現象，幫助人們科學地利用電荷的遷移和擴散機制調節有機體的內部環境以及指引半導體器件中電荷準粒子作定向流動。綜上可見，相關的理論研究具有重要的理論和現實意義。 我們通過分析Poisson-Nernst-Planck模型的非線性項的結構、對比現有研究成果，觀察並發現了有效電荷密度和粒子密度對應的非線性項存在本質的差異；繼而我們利用這些差異在符合尺度不變的一類臨界函式空間中採用調和分析中的端點時空估計方法證明了該模型的存在性、唯一性和不穩定性。關於拋物雙曲型Keller-Segel模型，我們利用現行偏微分運算元的傅立葉分析理論和高低頻分解技術改進了低頻部分，使得整個系統在能量空間中較好地得到研究；關於拋物拋物型Keller-Segel模型，我們利用Tao，Bourgain等研究色散方程和Navier-Stokes方程時引入的不適定性的研究方法，構造了一類特殊初值，並證明了從這類特殊初值演化所得的解不滿足穩定性，即初值的小的擾動經過短時間的演化不再是小擾動。關於具有非局部作用項的分數階擴散方程，我們首先利用傅立葉分析理論中的擬微分運算從理論上證明了非局部作用項可以被分解出三部分：一個向量函式的拉普拉斯、一個數量函式的梯度、一個張量函式的散度。然後我們利用這一分解再結合熱半群在時空估計中具有的光滑性在臨界Besov空間中建立了最佳的端點時空估計。最後我們利用這些性質我們研究了整個方程在不同分數階指標情況下的適定性。
