《二維多群輻射擴散方程組的高效疊代算法研究》是依託北京套用物理與計算數學研究所，由杭旭登擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：二維多群輻射擴散方程組的高效疊代算法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：杭旭登
- 依託單位：北京套用物理與計算數學研究所
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在慣性約束聚變等套用研究中，輻射輸運問題的精密化物理建模需要求解時間相關的多群輻射擴散方程組。多群輻射擴散方程組的離散導出大規模病態非線性代數方程組,其求解對計算機的計算能力，特別是求解方法提出了巨大挑戰。以往研究中採用的分裂源疊代方法對時間步長有較強的限制，不適應大規模數值模擬。原方法採用大時間步長離散時易導致疊代不穩定，而採用小時間步長求解時，導致時間步太多而離散開銷增大，計算時間太長。本項目將對多群輻射擴散方程組分裂算法進行分析，以得到對該問題的深入理解,並由此設計新的分裂疊代算法，及採用耦合性更強的算法求解。目標是構造出穩定時間步長可增大一到兩個量級，同時保持原方程的守恆性，保正性等性質的實用算法；並利用套用問題對新的方法進行計算和考核，驗證新算法在放寬時間步長限制的同時,保持所需的計算精度，解決多群輻射擴散原解法中時間步長限制的問題，提高計算效率。
結題摘要
本項目研究的二維多群輻射擴散方程組的高效疊代算法，是慣性約束聚變（ICF）等數值模擬中的重要數學方法。 傳統的求解算法分裂疊代算法，在實際套用中，出現疊代收斂慢甚至假收斂的問題。 針對此困難問題，本課題研究了高效求解方法和基礎理論問題，主要取得了如下的幾項進展。 1.獲得了分裂疊代算法的收斂速度的理論結果; 對多群輻射擴散方程組的分裂疊代算法進行了疊代算法收斂性的理論分析，通過採用Fourier分析方法，得到了分裂疊代算法的疊代矩陣的譜半徑估計的理論公式，該公式闡明了方程組中的對應的各種係數的複雜的關係。此結果從理論上證明了其值嚴格小於1，從而得到了收斂性的證明。數值計算了一系列典型的參數下該公式的具體數值，對計算結果的分析表明: 電子離子耦合係數對收斂性的影響較小; 而輻射不透明度的改變對收斂性的影響更為明顯。數值計算表明，對較大的不透明度，當輻射溫度升到三個百萬度左右時，收斂速度迅速下降。對測試模型進行了大量數值計算，驗證了對較小的耦合係數和不透明度，收斂速度快; 而對較大的不透明度，收斂非常慢。並在實際計算中出現假收斂的情況。本研究成果明確了改進多群輻射擴散方程組求解的研究方向。 2.設計了多群輻射擴散方程組的全耦合求解的疊代算法，改進求解的速度; 針對分裂疊代算法的收斂性分析結果，提出了全耦合的疊代算法。新算法中設計了高效的矩陣分裂的存儲方法，實現了矩陣的高效表示，並很方便地給出預條件；分析了全耦合疊代算法的性質，表明全耦合求解的矩陣是一個M-矩陣。數值計算表明其收斂性質要好於分裂疊代算法，並且對於困難的問題能很好地求解達到收斂。 3.提出了適用於全耦合求解的更有效的灰體綜合加速預條件，對數值算例可以加速4倍。 針對全耦合的疊代算法，提出了基於分裂和灰體綜合加速的新預條件子，和原預條件相比，新的預條件子只需要求解一個擴散方程，同時保持了原方程組中輻射方程和電子離子方程之間的耦合，使得在計算量大幅降低的同時，保持了良好的預條件效果，數值算例驗證了新預條件子的有效性。 本項目研究提出的全耦合疊代算法已經在應用程式LARED-R中實現，用於求解光性厚的多群輻射擴散方程組,在實際套用中取得了較好的套用效果。 在本項目的支持下，課題組成員參加了多次學術交流會議，發表了研究論文2篇，另有一篇已經接收，兩篇正在撰寫。
