具有時空周期性和奇異性反應擴散方程若干問題的研究

《具有時空周期性和奇異性反應擴散方程若干問題的研究》是依託江蘇師範大學，由彭銳擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：具有時空周期性和奇異性反應擴散方程若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：彭銳
• 依託單位：江蘇師範大學

項目摘要

本項目擬研究生態學和傳染病學中有一些具有實際套用的反應擴散方程（組）。 這些方程具有時空周期性和奇異性參數。模型更加接近實際環境，在以往的研究工作中很少涉及。我們擬研究問題解的各種性態，包括正周期解的存在性、不存在性、唯一性、多解性、穩定性、關於參數的漸近行為以及初邊值問題的動力學結構等。 主要研究對象是單個Logistic方程、生態學中的競爭和捕食模型，以及典型的傳染病模型等。通過發展新的數學思想和技巧，我們試圖揭示時空周期性、奇異性和退化性環境、擴散方式對於生態物種和傳染病的時空分布、滅絕或者共存等性態的本質影響。深入探討這些模型理論定性性質，一方面在此過程中尋求解決問題的數學理論和技巧，可以有力地推動偏微分方程研究理論自身發展。另一方面, 通過深入理解物種、疾病的時空發展過程, 揭示、預測其變化趨勢, 從而尋求預防和控制、保護等的最優策略，具有潛在的套用價值。

結題摘要

本課題研究了幾類來源於生態學、傳染病學和化學反應中基本的、具有重要背景的反應擴散微分方程（組）的動力學結構。既考慮時間或者空間參數的周期變化性，又考慮環境的奇異性和退化性。由於深刻的數學內涵和廣泛的套用，這些問題得到偏微分方程和動力系統研究域的許多數學家的持續、高度的關注。新的具有奇異性、周期性和退化性參數的引入使微分方程所所刻劃的物質演化或者化學物質反應更能接近實際特徵，更具有潛在的套用價值，但同時也使得所研究問題具有更大的數學挑戰性。 為此，課題發展了新的數學思想和技巧，克服了時空周期性、非均勻性和退化性等帶來的本質的分析困難。本課題深刻揭示了擴散方式、時空奇異性、周期性和退化性等環境對影響反應擴散方程動力學性態的本質內涵；也發掘了研究空間奇異、特徵值問題的新方法和新結果。在此過程中，解決了一些重要的數學公開問題。