非線性廣義逆與非線性方程解集的結構及其套用

《非線性廣義逆與非線性方程解集的結構及其套用》是依託哈爾濱師範大學，由王玉文擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性廣義逆與非線性方程解集的結構及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王玉文
• 依託單位：哈爾濱師範大學

項目摘要

本項目以具有奇異性的非線性（運算元、偏微分）方程為研究對象，重點研究其解集的度量結構，拓撲結構及微分結構。以運算元廣義逆、分歧理論、Bananch流形、Morse引理及（全局、局部）隱函式定理為工具，分別刻畫解集中分歧解集、連通分支、光滑坐標卡及有限解的精確個數等。將種群生態學，環境生態學，化學動力學中所建立的擬（半）線性反應擴散方程或平衡解滿足的橢圓方程，經恰當選取狀態空間，定義運算元，化為抽象空間中運算元方程，將所獲得的抽象結果，並結合具體分析，而完成對具體系統的定性分析或定量分析，為套用非線性科學提供新的分析工具。 對具有奇異性的線性運算元方程，遵循M.Z.Nashed提出的研究建議，給出M.Z.Nashed所定義的度量廣義逆的單值連續選擇，進一步完善非線性廣義逆理論。

結題摘要

本項目以具有奇異性的非線性（運算元、偏微分）方程為研究對象，重點研究了非線性方程解集的度量結構、拓撲結構及微分結構及線性運算元的度量廣義逆等非線性廣義逆。以運算元廣義逆、分歧理論、Banach流形、Morse引理及隱函式定理為工具，分別刻畫解集中的分歧解集、連通分支及有限解集中解的精確個數或解集構成方式。研究了從退化單特徵值出發的分歧定理，得到了當通常的橫截條件不成立時發生在單特徵值附近的對稱性分裂的分歧定理; 研究了具有二維核空間的雙鞍結點分歧定理,補充了經典的Crandall&Ribinowitz的分歧定理。將種群生態學、環境生態學、化學動力學中所建立的和空間變數有關的擬（半）線性反應擴散方程（組），或其平衡解所滿足的橢圓方程（組），運用分歧方法、上下解方法、拓撲度方法及Morse引理研究解集的結構；或選取恰當的狀態空間，定義相應的運算元，將所研究的偏微分方程化為抽象空間中的運算元方程，將本項目所獲得的抽象結果，經過具體分析，而完成對具體偏微分方程模型的定性分析或定量分析，完成對於解集的具體刻畫。對於具有奇異性的線性運算元方程或線性運算元包含，遵循M.Z.Nashed於1974年在Bull.Amer.Math.Soc.提出的研究建議，進一步給出M.Z.Nashed所定義的度量廣義逆的單值連續選擇及多值線性運算元的單值度量廣義逆的刻畫。特別，給出Banach空間中Moore-Penrose度量廣義逆的擾動定理。對於Banach空間中閉值域線性運算元的有界外逆，(2,3)-逆及有界斜投影廣義逆，通過廣義的Neumann引理及穩定擾動的概念，獲得一批新的擾動定理，為進一步研究Banach流形的結構奠定了基礎。