《基於復幾何光學解的兩類非穩態擴散方程反問題研究》是依託電子科技大學,由竇芳芳擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於復幾何光學解的兩類非穩態擴散方程反問題研究
- 依託單位：電子科技大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：竇芳芳
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
復幾何光學解是近年來由Uhlmann教授等著名數學家提出的研究反問題的一種新的重要思想，通過構造Schrodinger方程的特殊解構造非線性Fourier變換，從而研究唯一性和條件穩定性。這種方法在研究雙曲方程和橢圓方程反問題中發揮了巨大作用，得到了許多重要的創新性結果，但該方法對拋物型偏微分方程反問題的研究才剛剛起步。. 非穩態擴散方程的係數反問題和邊界辨識問題，是反問題研究的難點，用已有的傳統工具很難突破。本課題擬用復幾何光學解這一新的思想和工具對這兩類困難問題開展研究。構造出滿足具體問題的復幾何光學解，針對不同類型的邊界測量條件，研究問題的唯一性和條件穩定性；進而通過已得到的復幾何光學解，結合擬微分運算元理論，重點是修改振幅函式，構造出與條件穩定性結果具相同收斂階數的正則化方法，並在此基礎上對這兩類反問題進行數值模擬。
結題摘要
本項目主要研究內容包括以下三部分： （1）耦合Schrödinger方程組和波方程組的係數識別問題。通過觀測解的一個分量在方程所在區域的非空開子集中的性質，獲得對數型穩定性結果。在研究過程中採用了Calerman估計與Fourier-Bros-Iagolnitzer變換結合的方法。（2）核基逼近方法求解時空分數階擴散方程反問題。利用Fourier變換技術和分數階擴散方程基本解的性質數值模擬方程的基本解，並採用合理的方式選取配置點和源點，以減少循環，加快運算速度，並保證方法的有效性的精確性。同時研究核基逼近方法的收斂性估計。（3）二維及三維區域的趨化Navier-Stokes系統解的整體存在性、長時間行為，唯一性及穩定性。其中，（2）、（3）兩部分的成果已發表在Appl. Math. Comput., Comput. Math. Appl., Math. Models Methods Appl. Sci., J. Differential Equations等期刊上，（1）部分的研究結果已投稿。
