《徑向基無格線方法的一些關鍵問題及電磁套用》是依託電子科技大學,由段勇擔任醒目負責人的面上項目。本項目圍繞偏微分方程數值解的新方法-基於徑向基函式的無格線方法（特別是配置法）的核心問題展開。研究該方法的幾個關鍵問題：插值空間Bernstein類逆不等式和離散後線性方程組的病態問題，為該方法的誤差估計、後驗估計、矩陣性態分析奠定理論基礎，從而為設計合適的區域分解方法、預處理和正則化處理提供基礎。
基本介紹
- 中文名：徑向基無格線方法的一些關鍵問題及電磁套用
- 依託單位：電子科技大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：段勇
項目摘要,結題摘要,無格線方法,數學物理反問題,數值代數,
項目摘要
結題摘要
本項目圍繞偏微分方程數值解的新方法－－基於徑向基函式的無格線方法（特別是配置法）的幾個核心問題：插值空間Bernstein類逆不等式；求解更多的非線性方程而展開；分數階微分方程。項目執行期內，我們圍繞擬定的任務書，完成了以下一些工作：
無格線方法
1. 我們利用MQ函式擬插值方法，數值模擬了Maxwell方程，並將所得結果同FDTD方法得到的結果相比較，效果還不錯；利用 MQ函式擬插值方法數值模擬了非線性薛定鍔方程；利用其求解Camassa-Holm及Degasperis-Procesi方程，數值結果是令人振奮的；
2. 分析了徑向基函式的理論收斂速度，用於波動方程數值求解，利用線方法分析結果表明至少同有限差分的速度一致；分析了非對稱配置法的穩定性，結合Fourier和帶限函式等得出了Bernstein類不等式，設計出一種估計最小下確界的方法，得出了配置矩陣條件數的估計；
3. 基於上述分析，考慮一族非線性波動方程，為了給粒子法建立最優的誤差估計，分析了具緊支正定非負的Radon測度；粒子法是Lagrange坐標下b－方程的逼近，得出了經典解的短時存在性和正則性；
4．另外，我們還考慮了用徑向基函式去逼近空間分數階微分方程。
數學物理反問題
1. 針對這一問題，提出了基於Meyer小波的Galerkin方法，得到逼近解；
2. 本項目基於基本解方法，分別研究了時間分數階擴散方程和時間-空間分數階擴散方程的反向問題和Cauchy問題，在數值模擬分數階擴散方程的基本解部分，採用了逆快速Laplace變換和Fourier變換，結合Tikhonov正則化方法，其中正則化參數由L-curve方法和廣義交叉核實確定，數值求解了這些反問題；
3. 針對這一問題，我們提出了基於復幾何光學解的正則化方法,這一結果仍然是初步的，項目組成員竇芳芳就這一問題申請到了青年基金項目資助。
數值代數
1.提出Upper AOR疊代法、並研究了p-cyclic情形下Upper AOR疊代矩陣與Jacobi疊代矩陣的特徵值關係；
2.研究了後向MPSD疊代矩陣與Jacobi疊代矩陣特徵值關係；
3.給出了後向非對稱SSOR疊代法與Jacobi疊代法的斂散關係。
再一次說明了理工結合研究的必要性：
一 其為工科提供很好的套用環境；
二 為數學提供更多研究方向。
