非線性薛丁格方程孤立波解的相關問題研究

《非線性薛丁格方程孤立波解的相關問題研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由王征平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性薛丁格方程孤立波解的相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王征平
• 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院

項目摘要

非線性薛丁格方程是描述量子力學的基本方程，它在非線性光學、超導、玻色-愛因斯坦凝聚等物理領域有著廣泛的套用。非線性薛丁格方程孤立波解（包括行波解和駐波解）的研究有著重要的理論及套用意義。本項目將主要圍繞兩類重要的非線性薛丁格方程：一類是超導中的非線性Schr?dinger -Poisson方程，另一類是來自於玻色-愛因斯坦凝聚中的Gross-Pitaevskii方程, 對其孤立波解的存在性和穩定性開展深入的數學理論研究。具體研究內容包括：1. 利用變分法和臨界點理論研究非線性Schr?dinger-Poisson方程變號駐波解的存在性, 探索無界域上含有非局部項的非線性橢圓型偏微分方程變號解的構造方法. 2. 研究Gross-Pitaevskii 方程行波解的穩定性，探索判別非線性薛丁格方程孤立波解穩定性的新方法。該項目的研究將涉及到非線性泛函分析中諸如變分法及臨界點理論的新套用。

結題摘要

具有非零邊界條件的Gross–Pitaevskii（GP）方程來源於非線性光學中暗孤子的研究。這類GP方程是一類特殊的反聚焦型非線性Schrodinger方程，空間無窮遠處的非零邊界條件使得解的結構比經典的零邊界情形更為複雜。上世紀八十年代，英國物理學家Paul H. Roberts教授等對GP 方程的行波解進行了長期系統的數值研究，並且基於實驗結果提出了一系列的猜測：包括行波解的存在性、穩定性、對稱性等。這些關於行波解的猜測被統稱為Roberts programme。從上世紀九十年代末開始，法國數學家Bethuel, Saut等對Roberts programme開展了嚴格的數學理論研究，並在高維行波解的存在性方面取得了重要的進展，但是關於高維行波解的穩定性沒有任何結果。法國學者Maris曾在論文【Annals of Mathematics, 2013, Page 112】中指出“A much more difficult problem is to understand the stability of traveling waves...the orbital stability as well as the asymptotic stability of traveling waves in dimensions larger than two are still open problems”. 在本項目中，我們主要研究了GP 方程三維行波解的軌道穩定性問題，證明了：如果行波速度充分小，行波解在能量空間裡一定是軌道穩定的；如果行波速度接近音速時，行波解在能量空間裡一定是軌道不穩定的。這一研究結果發表在【Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 222, 2016】上面，回答了Maris在論文【Annals of Mathematics, 2013, Page 112】中提出的關於三維行波解軌道穩定性的公開問題，從數學上嚴格驗證了Roberts programme中關於GP 方程三維行波解的穩定性猜測，從方法上拓展了Grillakis-Shatah-Strauss經典穩定性理論的適用範圍。另外，我們利用變分理論和拓撲度方法證明了Schrodinger-Poisson 方程變號解的存在性。