分數階非線性薛丁格方程解的存在性與集中性研究

《分數階非線性薛丁格方程解的存在性與集中性研究》是依託南京師範大學，由尚旭東擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：分數階非線性薛丁格方程解的存在性與集中性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：尚旭東
• 依託單位：南京師範大學

項目摘要

分數階薛丁格方程起源於量子力學中研究由Lévy過程所驅動的隨機場中的粒子問題。目前，關於其解的相關研究已成為非線性分析領域的熱點問題之一，但該類方程的偏微分方程理論尚不完善。本項目致力於採用變分理論和約化等方法研究分數階非線性薛丁格方程, 給出解的存在性、多重性、集中性及多峰解，包括：（1）研究具有多個衰減或無界勢的方程正解的存在性，建立解的積分估計，刻畫解的集中性；（2）利用Lyapunov-Schmidt變分約化方法研究方程的多峰解，揭示峰與峰之間相互影響的多峰解的存在性與勢函式極值點之間的關係；（3）研究臨界情形下，方程正解的存在性、集中性及變號解的存在性和多重性。本項目旨在解決分數階非線性薛丁格方程解的相關研究中的一些重要問題，發展和完善該領域的理論研究，為分數階非線性橢圓方程中其它相關問題的研究提供新的思路。

結題摘要

分數階偏微分方程不僅具有廣泛的物理和套用背景,而且在數學上也具有重要的理論意義。本項目主要對幾類分數階橢圓型方程解的存在性、多重性及集中性進行了研究。具體來說：我們研究了勢函式在幾種不同條件下分數階薛丁格方程解的存在性、多重性、集中性及衰減性；研究了具有Hardy位勢的分數階橢圓方程在臨界情形下解的存在性和多重性；研究了一類具Hardy-Littlewood-Sobolev臨界指數的分數階橢圓系統非平凡解的存在性；研究了一類分數階Choquard方程，證明了正解的存在性、對稱性與不存在性。此外，還研究了一類Kirchhoff方程解的存在性及集中性。通過本項目的研究，可以幫助人們更好的理解套用學科中出現的分數階偏微分方程。