《擬線性薛丁格方程及其相關問題的研究》是依託大連理工大學,由房祥東擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：擬線性薛丁格方程及其相關問題的研究
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：房祥東
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來，擬線性薛丁格方程是非線性分析中的熱點研究領域。修正薛丁格方程和廣義擬線性薛丁格方程是兩類重要的擬線性薛丁格方程。本項目擬利用變分方法和拓撲方法對其進行研究，這推廣了大量的薛丁格方程的結果。具體來說：1.研究修正薛丁格方程臨界情形下多解的存在性和次臨界情形下高能量解的存在性。主要克服的困難是修正項對能量泛函的影響（如：泛函的幾何結構，Palais-Smale序列的有界性和緊性等）。在更弱的非線性條件下建立相應的存在性定理。2.研究廣義擬線性薛丁格方程無窮多解的存在性以及相應奇異擾動問題解的存在性與集中性。對於無窮多解的存在性，我們將分別在周期條件或非周期條件下展開研究。對於奇異擾動問題，利用變分方法並適當加以改進來研究解的存在性與漸近性態。這些問題的解決不僅能揭示出新的規律，而且具有重要的學術價值和廣泛的套用前景。
結題摘要
具有二階導數項的擬線性薛丁格和薛丁格泊松方程是許多物理現象的模型。例如：等離子物理，流體力學，耗散系統量子力學等等。我們利用變分方法來證明這兩類方程的非平凡解的存在性。 對於擬線性薛丁格方程，當其非線性項分別是漸近立方和超立方條件下，我們證明了高能量解的存在性。當位勢函式具有臨界頻率時，我們證明了局部解的存在性以及解集中在位勢函式的局部最小值的某個孤立分支中。利用Nehai流形方法和LS稠數理論，我們證明了臨界指標情形下多解的存在性。我們利用廣義Nehari流形方法得到了薛丁格泊松系統高能量解的存在性。對於具有臨界指數的擬線性薛丁格方程組，我們證明了多重解的存在性。
