《擬線性薛丁格方程駐波解的相關問題研究》是依託武漢理工大學，由張貽民擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：擬線性薛丁格方程駐波解的相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張貽民
- 依託單位：武漢理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
等離子物理、流體力學、耗散量子力學、Heisenberg鐵磁體及凝聚態理論等物理模型均可用擬線性薛丁格方程來描述，因此關於擬線性薛丁格方程駐波解的研究有著重要的理論及套用意義。本項目將主要研究兩類擬線性薛丁格方程：一類是來自等離子物理中的帶非局部非線性項薛丁格方程；另一類是來源於高功率超短雷射物質中的相對非線性薛丁格方程。主要研究其駐波解的存在性和穩定性等，具體內容包括:1.研究帶非局部非線性項薛丁格方程駐波解的存在性和穩定性，包括正解和多解的存在性，以及駐波解的穩定性；2.探索帶非局部非線性項薛丁格方程泛函極小化問題，包括泛函極小的存在性、坍塌性和對稱破缺性等；3.分析相對非線性薛丁格方程駐波解的存在性以及穩定性，包括臨界情形下正解和多解的存在性等。這些變分問題的深入研究，不僅可以幫助我們加深對擬線性薛丁格方程物理模型的理解，而且有助於促進非線性泛函分析中諸如臨界點理論的新套用。
結題摘要
擬線性薛丁格方程來源於等離子物理、流體力學、耗散量子力學、Heisenberg 鐵磁體及凝聚態理論等物理模型，針對不同的形式有相應的物理模型，具有非常重要的理論及套用意義。本項目主要研究幾類帶非局部項的擬線性偏微分方程，具體研究：（1）駐波解的存在性和多重性以及解的漸近行為；（2）駐波解滿足的方程對應泛函極小化問題解的存在性及其相關性質；（3）柯西問題解的局部適定性等。在駐波解的存在性及解的漸近行為方面，共發表SCI論文6篇，中文核心論文2篇，投稿SCI論文1篇，得到了非線性項滿足次臨界和臨界情形下解的存在性，並考慮了非局部項係數趨於零時的極限行為，進一步利用變分理論和拓撲度的方法得到了徑向變號解的存在性。特別當相對非線性薛丁格方程非線性項含二次根式時得到了3維情形下正解的存在性，部分回答了文獻[M.Colin, Adv. Differ. Equ. 2003 (8)：1-28]中的一個開問題。在極小解的存在性及相關性質方面，共發表SCI論文4篇，投稿SCI論文1篇，對於幾類非線性薛丁格方程，針對非線性指數與極小解的存在性關係給了一個完整的分類，並對於部分基態解給出了唯一性的證明，進一步研究了極小解的漸近行為。在適定性方面發表SCI論文3篇，投稿2篇，通過構造新的空間，確立新的雙線性估計，分別得到了淺水波方程柯西問題一維和高維情形下某些條件的局部適定性，在一維和高維的情形分別改進了文獻 [Himonas and Misiolek, Commun. Partial Diff. Equ. 23(1998), 123-139]的結果。
