時標上分數階Hamiltonian系統的若干問題研究

《時標上分數階Hamiltonian系統的若干問題研究》是依託雲南大學，由周見文擔任負責人的地區科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：時標上分數階Hamiltonian系統的若干問題研究
• 項目類別：地區科學基金項目
• 依託單位：雲南大學
• 負責人：周見文

項目簡介

本項目旨在建立時標上分數階Sobolev空間作為工作空間，套用臨界點理論研究時標上分數階Hamiltonian系統的如下三個問題：.(1)研究時標上分數階Hamiltonian系統解的存在性、多重性以及同宿解、異宿解的存在性問題；.(2)研究時標上分數階時滯Hamiltonian系統概周期解的存在性和多重性；.(3)分析時標上奇異分數階Hamiltonian系統中脈衝擾動的作用，即研究時標上具脈衝項的奇異分數階Hamiltonian系統概周期解的存在性和多重性，探索時標上奇異分數階Hamiltonian系統具有脈衝生成的概周期解的條件，考察脈衝擾動對時標上奇異分數階Hamiltonian系統次調和解的影響。本項目的研究將不僅發展和完善時標上分數階Hamiltonian系統的理論，還將進一步擴展變分方法和臨界點理論的套用範圍，具有重要的理論意義和廣泛的套用前景。

結題說明

本項目建立了時標上一類分數階Sobolev空間，搭建了時標上一類分數階Hamiltonian系統的變分框架和一套變分研究方法，獲得一些關於其解以及脈衝生成的解的有意義的研究成果，拓展臨界點理論的套用領域，統一了分數階連續Hamiltonian系統和分數階離散Hamiltonian系統的研究，為分數階Hamiltonian系統解的數值模擬提供了理論依據。作為分數階微分方程研究的深入，我們找到了研究分數階薛丁格方程和擬線性分數階切爾霍夫方程基態解、駐波解和高能解序列的有效方法。取得如下主要研究成果：1.成功找到了當導數為整數階時時標 上的 -Laplacian微分方程邊值問題的可解性的研究方法--變分方法，作為該Sobolev空間在變分法中的首次套用, 我們將空間 作為工作空間,套用變分方法中的臨界點理論研究了時標 上的 -Laplacian分數階微分方程邊值問題解的存在性和多重性。2.我們找到了套用變分方研究脈衝分數階Hamiltonian系統的工作空間，定義了其弱解，構造了其對應的能量泛函，套用山路引理和鞍點定理給出其解存在的一些充分條件。3.基於時標上的共形分數階微積分理論，然後建立了時標 的閉區間上的共形分數階Sobolev空間. 研究其完備性、自反性、一致凸性、嵌入定理以及其上一類泛函的連續可微性等重要性質。4.將建立的時標 的閉區間上的共形分數階Sobolev空間作為工作空間，研究了時標上分數階Hamiltonian系統的可解性。5.套用變分方法研究了一類擬線性分數階薛丁格方程正解、負解以及高能解序列的存在性，獲得了具臨界增長的切爾霍夫型方程的駐波解的存在性和多重性，探索了具臨界增長和超臨界增長的分數階薛丁格方程非平凡解存在的充分條件，研究了具臨界增長的分數階薛丁格方程基態解的存在條件。