隨機非線性薛丁格方程幾類問題的研究

《隨機非線性薛丁格方程幾類問題的研究》是依託上海交通大學，由張登擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：隨機非線性薛丁格方程幾類問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張登
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

隨機非線性薛丁格方程是一類新型的具有色散型結構的隨機偏微分方程，是量子物理和非線性色散波研究中的一類基本方程，具有重要的套用價值和數學意義。目前國際上非線性薛丁格方程非常活躍的兩個研究方向是：聚焦質量臨界情形下的爆破機制以及隨機初值下方程的不變測度；代表性的進展分別有，Kenig和Merle的波包分解方法，以及Bourgain的不變測度與全局適定性的聯繫。另一方面，在隨機偏微分方程領域中，噪聲對確定系統的影響以及不變測度的性質是十分重要的研究課題，具有重要的機率意義。因此，對於含噪聲驅動的隨機非線性薛丁格方程，申請人希望研究爆破解和不變測度的基本性質，包括噪聲對爆破的正則化效果，以及不變測度對全局適定性的正則化效果。.此外，對數薛丁格方程是另一類重要的非線性方程，在核物理和光化學等諸多領域有廣泛的套用。考慮到在實際套用中往往有噪聲的干擾，申請人還希望研究隨機對數薛丁格方程的全局適定性。

結題摘要

隨機非線性薛丁格方程是一類新型的具有色散型結構的隨機偏微分方程，是量子物理和非線性色散波研究中的一類基本方程，具有重要的數學意義和套用價值。本項目主要研究隨機非線性薛丁格方程的適定性、長時間行為、爆破解以及最優控制等幾類重要問題。目前已取得的科研成果包括有：次臨界情形下該類方程的最優控制問題以及長時間散射行為，臨界情形下的全局適定性、散射和Stroock-Varadhan型支集定理，（超）臨界情形下噪聲對爆破解的正則化效果，含對數非線性項的隨機薛丁格方程的全局適應性，以及更一般的色散方程的Strichartz估計和局部光滑估計等。這些結果給出了隨機非線性薛丁格方程解的適定性和長時間行為較為完整的刻畫，並為更一般的隨機色散型方程展開研究奠定了基礎。