《非線性薛丁格方程時空有限元法的超收斂及長時間性質》是胡姝芳為項目負責人，中南林業科技大學為依託單位的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性薛丁格方程時空有限元法的超收斂及長時間性質
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：胡姝芳
- 依託單位：中南林業科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究非線性薛丁格（Schrödinger）方程的時空連續有限元方法（FEM），開展以下兩方面的工作：（1）時空FEM關於時間和空間的最佳階雙重超收斂性質。Schrödinger方程組具有特殊的結構，它不屬於Pedrovsky意義下的拋物組，而是退縮拋物組。因此，通常的正運算元方法已不適用，需要運用新的分析技巧。本項目通過構造一組合適的基函式，先分離相應的正定部分，再處理非正定部分，發展並利用單元分析、正交修正等技巧得到時空最高階的超收斂結果。（2）考察時空FEM的長時間性質，包括軌道、守恆量和辛的長時間模擬效果等。本項目的預期成果，不僅能豐富偏微方程FEM的超收斂理論，也能促進時空FEM在凝聚態物理等領域的套用，具有重要的理論意義和實用價值。
結題摘要
時空有限元法是一種求解各類發展方程的重要方法, 本項目研究了時間有限元法模擬部分發展方程的收斂及超收斂性質。代表性工作如下:（1）提出時間連續元的檢驗函式投影方法。考慮包括薛丁格方程在內的一大類發展方程時空有限元法(時間連續元和空間連續或間斷元)，在一般框架下證明了基本的穩定性估計。然後逐個地討論了一階雙曲方程、Maxwell方程、立方非線性薛丁格方程和變係數拋物方程, 並證明了它們的最佳階收斂性。(2)證明拋物初邊值問題的時空連續有限元在單元節點上的雙重最高階超收斂。提出超收斂研究的新方法,微分運算元的局部投影。該方法簡單易用且不需要齊次化初邊值條件，是對單元條修正方法的一項理論推進。同時，適用於研究橢圓、拋物和雙曲問題, 具有普遍的意義。在本項目支持下，共完成論文三篇，其中一篇已發表（SCI），另外兩篇已投稿。
