幾類初值問題數值方法的長時間性態

《幾類初值問題數值方法的長時間性態》是依託華中科技大學，由黃乘明擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：幾類初值問題數值方法的長時間性態
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：黃乘明
• 依託單位：華中科技大學

中文摘要

本項目研究幾類典型初值問題數值方法的穩定性和收斂性。對常微分方程，重點研究數值方法的長時間收斂性；對延遲微分方程，重點研究數值方法的延遲依賴穩定性；對弱奇異Volterra方程，構造具有好的穩定性的高精度算法並進行理論分析。在此基礎上，將部分研究進一步擴展到隨機微分方程領域。我們將以常微分方程初值問題數值方法的穩定性理論作為基本出發點，利用現代數學方法並結合各類問題的特點進行系統的理論分析，揭示初值問題數值方法的一些重要本質特徵和內在聯繫。所獲成果將豐富和發展微分方程初值問題的算法理論，在科學與工程領域也將具有廣泛套用前景。

結題摘要

本項目研究幾類典型初值問題數值方法的穩定性、收斂性和守恆性，為初值問題的長時間數值模擬提供理論基礎。在隨機常微分方程方面，構造了改進的分裂步theta方法和兩類兩步Milstein型方法，證明它們都具有1階強收斂性，並對改進的分裂步theta方法證明當theta≥3/2時方法是均方A-穩定的。對確定性常微分方程耗散系統證明Lobatto IIIC方法的長時間收斂階等於其級階。在確定性延遲方程方面，對帶消失延遲的Volterra積分方程和帶非消失延遲的Volterra泛函積分方程詳細分析配置方法的最優全局和局部超收斂階；對延遲偏微分方程差分方法獲得延遲依賴穩定性結果。在隨機延遲方程方面，獲得兩類theta方法在非全局Lipschitz條件下的強收斂性和穩定性結果；將分裂步theta方法擴展到中立型隨機延遲微分方程情形，證明當theta＞0.5時方法能保持一類非線性問題的均方指數穩定性。對一類弱奇異Volterra積分方程構造Jacobi譜配置方法，並獲得其L∞範數和帶權L2範數誤差估計；對多項時間分數階導數的擴散方程和擴散波方程，考慮兩類有限元方法，證明方法的無條件穩定性和收斂性。對由帶弱奇異核積分定義的非線性分數階薛丁格方程初值問題，提出同時具有質量和能量守恆性的全隱差分格式和有限元格式、質量守恆的線性化差分格式和有限元格式、以及高維問題質量守恆的分裂算法，並獲得它們的無條件收斂性結果。對分數階金茲堡-朗道方程初值問題，提出有效的差分方法和有限元方法，並證明數值解的有界性和無條件收斂性。本項目已發表期刊論文29篇，其中SCI論文27篇，超過預定計畫。所獲結果豐富了初值問題的算法理論，在相關領域也具有廣泛套用前景。