《關於雙曲方程解性態的研究》是依託南京師範大學，由丁冰冰擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於雙曲方程解性態的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：丁冰冰
- 依託單位：南京師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在偏微分方程中一個核心的問題就是對非線性雙曲方程解性態的研究，這些研究與流體動力學、廣義相對論等領域密切相關。關於雙曲方程經典解爆破和爆破後解的發展性質的研究始終是雙曲方程理論中的重大課題。本項目將圍繞如下問題進行：（1）研究滿足弱零條件的、具有一般形式的3維擬線性波動方程組小初值解的長時間問題；（2）研究2維擬線性波動方程係數只跟解本身有關的小初值Cauchy問題；（3）探索大初值3維擬線性波動方程解的存在時間。
結題摘要
本項目旨在研究擬線性波動方程大初值問題解的存在時間。我們選取了兩類特殊的具有特定物理意義的模型進行了研究，即研究了薄膜振動問題和可壓縮Euler方程中的Chaplygin氣體解的發展問題。本項目最終得出了如下兩類結果：1. 證明了一類大初值條件下的3維薄膜振動方程有限時間內激波的形成。這個問題由於初始值具有範數大的性質，而且求導次數越多，解的範數越大，這類問題傳統意義上的方法完全沒法解決，具有很大的難度。我們選取了一類“脈衝初值”，藉助於微分幾何的知識，通過分析特徵面的擠壓情況，預估了解在有限時間內是爆破的，而且在爆破處形成激波。然後通過建立解的Bootrtrap假設，證明了特徵面在有限時間內發生擠壓的事實。由於特徵面的擠壓，我們構造了退化的能量，得到了最終的能量估計，最後使用連續性方法封閉了最初的假設，從而得到了方程的爆破性質。2. 證明了一類大初值條件下3維Chaplygin氣體整體解的存在性。我們依然選取了“脈衝初值”來研究我們的問題。到目前為止，鮮少有具有脈衝初值的大初值問題的整體存在性結果，我們目前看到的已經發表的那些為數不多的結果的論文也是對初值加了一些別的限制。我們鑒於研究薄膜振動方程的經驗，考察了方程的特徵面的情況，發現特徵面在解存在時間內不會產生擠壓。然後我們分別在前向光錐的附近和內部做能量估計，最終得出解全局存在的結論。 本項目中我們借用了微分幾何的知識，引入了一個真正反映特徵面擠壓的幾何量，巧妙地解釋了解爆破的緣由或者全局存在的本質。我們進一步發展了傳統的偏微分方程的能量方法，為將來真正解決任意大初值問題的解的存在時間貢獻了自己的力量。
