《非線性拋物雙曲耦合方程組的可解性問題》是依託廈門大學，由趙俊寧擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性拋物雙曲耦合方程組的可解性問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：趙俊寧
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
許多有重要物理背景的數學模型可歸結為非線性拋物-雙曲方程組， 如來自流體力學的可壓Navier-Stokes方程、磁流體方程、向列型可壓液晶流方程、淺水波方程等。 由於方程組中的強非線性、強耦合性、以及出現真空或質量集中時方程產生的退化性和奇性， 使得這類問題的整體可解性研究變得極具困難； 另一方面也使對這些問題的研究在數學上有很大的挑戰性， 長期以來吸引了許多數學家的關注和興趣。本項目擬從數學理論研究的角度出發，利用近年來逐步完善的非線性退化拋物、橢圓理論以及調和分析、幾何分析中的新的思想方法研究具有重要物理背景的拋物-雙曲組的可解性問題， 如：具一般初始條件的可壓Navier-Stokes方程整體強解的存在性和弱解的奇性分析； 研究粘性係數依賴密度的可壓N-S方程整體可解性問題； 研究Prandtl邊界層方程的可解性問題； 研究磁流體方程以及向列型可壓液晶系統的整體可解性問題。
結題摘要
本項目主要研究了以可壓Navier-Stokes方程為背景的非線性拋物雙曲耦合方程組的可解性問題。 研究的內容涉及Navier-Stokes方程在有界域上小初始能量整體古典解的存在性問題；研究Cauchy問題局部解和整體古典解的存在性問題， 其中包括一維和高維在各種不同條件下的可解性問題；研究粘性係數依賴密度的可壓Navier-Stokes方程的可解性問題。研究和Navier-Stokes方程相關的磁流體方程的一些問題。項目基本按照預先制定的計畫有序的進行，取得一些有意義的成果； 如在有界域上證明了Navier-Stokes方程在初始小能量假設下存在整體光滑解， 對粘性係數依賴於密度的Navier-Stokes方程證明了局部古典解的存在性， 對任意初始條件的Navier-Stokes方程當粘性係數在一定範圍內證明了Cauchy問題存在整體光滑解。這些成果受到國內外同行的關注。 由於擬研究問題的複雜性，該項目有一些的預定研究目標沒有得到滿意的結果， 如可壓Navier-Stokes的第一邊值問題的整體適定性問題； 粘性係數依賴於密度（退化粘性）的Navier-Stokes方程的可解性等問題，這些都是今後繼續研究的問題。
