《雙曲型曲率流及其不變解》是依託寧波大學，由沃維豐擔任負責人的國家自然科學基金資助青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：雙曲型曲率流及其不變解
- 依託單位：寧波大學
- 項目負責人：沃維豐
- 項目類別：青年科學基金項目
項目簡介,結題摘要,
項目簡介
曲率流的研究由於其鮮明的套用背景和豐富的數學內涵，得到了研究者的廣泛重視。傳統的曲率流模型是拋物型曲率流。本項目擬將研究雙曲型曲率流。申請人注意到描述曲率流的偏微分方程滿足一個重要的性質：方程在幾何運動群下保持不變。根據這個性質，本項目首先對雙曲型偏微分方程進行分類，尋找歐氏不變和仿射不變的雙曲方程並建立其與雙曲型曲率流之間的等價關係。我們將主要研究描述雙曲型曲率流的雙曲型方程的適定性和不變解，著重研究解的幾何性質和長時間行為。拋物型曲率流在具體分析時可利用拋物方程的極值原理，而這一點並不適用於雙曲型曲率流。但是，我們所研究的方程具有其他雙曲方程沒有的幾何特徵：擁有豐富的對稱群。申請人將系統的研究雙曲型曲率流的群不變解及其漸近穩定性，充分利用方程的幾何不變性、不變解以及幾何量的演化方程，研究方程的幾何性質如凹凸性、長時間行為等。本項目的研究有助於深化人們對雙曲型曲率流的理解和認識。
結題摘要
本項目主要研究了仿射幾何和歐氏幾何中不變曲率流問題。首先研究了一類仿射幾何中的雙曲型不變流。我們通過對一般雙曲型方程的分類，得到仿射不變的曲率流。在建立與曲率流等價的雙曲型偏微分方程後，我們研究解的局部存在性和長時間存在性。另外根據周長和面積的演化方程，給出了解有限時間爆破的結果。並進一步研究了幾何流的不變解。另外本項目研究了歐氏幾何中非局部的平面曲率流問題。分別對不同的初始曲線，得到了平面曲線在保長度和保面積的曲率流驅動下最後收斂的結果。對曲率做了各種估計，得到了不同閉浸入曲線的大時間性態。項目另外研究了曲線收縮流特殊解的穩定性問題，並推廣到非函式形式的初始曲線情況。項目還研究了中心仿射幾何不變幾何流問題，研究了解的各種性質。
